El área de una figura plana es la medida de la superficie que encierra. Para medir el área utilizamos unidades cuadradas (como el m², cm², km²...). El área expresa, por tanto, el número de cuadrados unidad que ocupa la figura. Así, por ejemplo, si nos dicen que el área de una figura es de 24 cm² es porque la podemos recubrir con 24 cuadrados de 1 cm de lado, como el trapecio representado a continuación:

Sin embargo, para calcular el área de un polígono, en la mayoría de las ocasiones no será necesario tener que ir contando uno a uno los cuadrados unidad que ocupa, que es una tarea que, a veces, puede resultar muy laboriosa. Para hacer ese cálculo es muy frecuente emplear una fórmula.

Disponer de una fórmula para el cálculo del área supone una gran ventaja: en vez de contar los cuadrados unidad, solamente tenemos que conocer (o medir) los elementos que intervienen en la fórmula y, a continuación, hacer con esos elementos las operaciones aritméticas indicadas en la fórmula. Esos elementos serán siempre algunas longitudes características de cada figura: base, altura, apotema, diagonal, radio, etc.

Por ejemplo, para calcular el área de un rectángulo la fórmula que empleamos es A = b x h, donde la letra A representa el área y b y h son el largo y el ancho del rectángulo, que también podemos denominar base y altura, respectivamente. Eso supone que, una vez que hemos identificado que la figura cuya área queremos calcular es un rectángulo, solamente tenemos que medir su largo y su ancho y, posteriormente, multiplicar esos dos datos, como nos indica la fórmula, para hallar su área.

Veamos un ejemplo:

El área del rectángulo de la figura es: A = 7 x 4 = 28 cm². Es muy fácil comprender el porqué de esa fórmula, que tanto nos facilita el cálculo del área de un rectángulo. En las primeras escenas de esta aplicación tendremos ocasión de verlo.

Explora la siguiente construcción que servirá de introducción. En cada escena, intenta observar qué cosas se mantienen sin variar y qué cosas cambian al mover los puntos.

A partir de la fórmula del área de un rectángulo podemos ir deduciendo más fórmulas para el cálculo de las áreas de otros polígonos: romboides, triángulos, trapecios... En todos los casos el proceso se basa en recomponer la figura de la que partimos hasta llegar a formar otra figura con la misma superficie, pero con otra forma para la que ya disponemos de una fórmula de cálculo. En esta aplicación iremos viendo algunas de estas fórmulas. Es muy importante que te fijes en el proceso que seguimos para la obtención de las fórmulas, que te permita comprender bien el significado de los cálculos que haces cuando la aplicas.

El deslizador situado en la parte izquierda de la pantalla te permite cambiar de una escena a otra. Puedes cambiar el tamaño de los polígonos moviendo los puntos de color verde.

Preguntas

Medida de áreas

1. En la cuadrícula tienes dibujados varios polígonos. Cada cuadrado de la cuadrícula tiene 1 cm de lado. Calcula el área de cada uno de los polígonos. Calcula también su perímetro. ¿En qué unidades está medida el área? ¿Y el perímetro? Escribe los resultados en la siguiente tabla:

2. Analiza los resultados de la tabla anterior. ¿Qué polígonos tienen el mismo área? ¿Y el mismo perímetro? Los polígonos que tienen el mismo área, ¿también tienen el mismo perímetro? ¿En qué polígono te resultó más fácil medir el área y el perímetro?

Área del rectángulo

3. Sitúa el deslizador en la posición Rectángulo. Mueve los vértices hasta que b=6 y h=4, trata de dejar los vértices del rectángulo sobre vértices de la cuadrícula. El rectángulo que has construido tiene 6 centímetros de largo o base y 4 centímetros de ancho o altura. Fíjate en la cuadrícula sobre la que está construido el rectángulo. Observa que el rectángulo está tapando 4 filas horizontales de 6 cuadrados cada una. ¿Cuántos cuadrados recubre en total? ¿Cuál es el área del rectángulo? Comprueba tu resultado activando la casilla Área.

4. Mueve los vértices como creas oportuno para construir otro rectángulo, de dimensiones diferentes al anterior, pero también tenga un área de 24 cm². Procura situar los vértices del rectángulo sobre vértices de la cuadrícula y que las dimensiones sean números enteros. ¿Cuántas filas tiene? ¿Cuántos cuadrados hay en cada fila? ¿Cuáles son sus dimensiones? Comprueba, con la casilla de control, que el área es de 24 cm².

5. Un rectángulo está formado por 7 filas de 5 cuadrados cada una. ¿Cuáles son sus dimensiones? ¿Cuál es su área?

6. Expresa, con tus palabras, qué significado tiene la fórmula que utilizamos para calcular el área de un rectángulo.

7. Mueve los vértices y sitúalos en diferentes lugares de la cuadrícula. Ahora no hace falta que los sitúes sobre vértices de la cuadrícula ni que las dimensiones sean números enteros. Utiliza la fórmula para calcular el área de los polígonos que construyas. Comprueba tus resultados actuando sobre la casilla de verificación.

Área del romboide

8. Coloca el deslizador en la posición Romboide. Actúa sobre el deslizador Recomponer que tienes en la parte superior. ¿Qué figura ha resultado? Compara el área de la figura que se ha formado con la del romboide del que partimos: ¿son iguales? ¿Es el doble? ¿Es la mitad? Ya sabes calcular el área de la figura que se ha formado, por tanto, ¿cuánto vale el área del romboide?  Comprueba el resultado actuando sobre la casilla Área.

9. Vuelve el deslizador Recomponer a la posición inicial. Cambia las dimensiones del romboide. Mueve ahora otra vez el deslizador Recomponer. ¿Qué figura ha resultado? ¿Cuál es su área? Comprueba el resultado.

10. Repite el proceso algunas veces más. En todos los casos el área del romboide es igual a la de un rectángulo, ¿qué dimensiones (base y altura) tiene ese rectángulo? ¿Qué relación tienen las dimensiones del rectángulo con las del romboide (base y altura)?

11. Si la base del romboide mide b y la altura h, ¿qué fórmula podemos utilizar para calcular su área? Expresa con tus palabras el significado de la fórmula que has escrito.

12. La base de un romboide mide 9 cm y la altura 6 cm. ¿Cuál es su área? Comprueba el resultado con la aplicación.

Área del triángulo

13. Mueve el deslizador a la posición Triángulo. Actúa sobre el deslizador Recomponer que tienes en la parte superior. ¿Qué es lo que ha ocurrido? ¿Qué figura ha resultado? Compara el área de la figura que se ha formado con la del triángulo del que partimos: ¿son iguales? ¿Es el doble? ¿Es la mitad? Ya sabes calcular el área de la figura que se ha formado, por tanto, ¿cuál es entonces el área del triángulo? Comprueba el resultado actuando sobre la casilla Área.

14. Vuelve el deslizador Recomponer a la posición inicial. Cambia las dimensiones del triángulo. Mueve ahora otra vez el deslizador Recomponer. Contesta a las mismas preguntas que en el apartado anterior. Comprueba el resultado.

15. Repite el proceso algunas veces más. En todos los casos al recomponer la figura aparece un romboide, ¿qué dimensiones (base y altura) tiene ese romboide? ¿Qué representan esas dimensiones en el triángulo? ¿Qué relación hay entre el área del romboide que se forma al final y la del triángulo del que partimos?

16. Si la base del triángulo mide b y la altura h, ¿qué fórmula podemos utilizar para calcular su área? Expresa con tus palabras el significado de la fórmula que nos permite calcular el área de un triángulo.

17. La base de un triángulo mide 9 cm y la altura 5 cm. ¿Cuál es su área? Comprueba el resultado con la aplicación.

Área del trapecio

18. Sitúa ahora el deslizador en la posición Trapecio. Actúa sobre el deslizador Recomponer que tienes en la parte superior. ¿Qué es lo que ha ocurrido? ¿Qué figura ha resultado? Compara el área de la figura que se ha formado con la del trapecio del que partimos: ¿son iguales? ¿Es el doble? ¿Es la mitad? Ya sabes calcular el área de la figura que se ha formado, por tanto, ¿cuál es entonces el área del trapecio? Comprueba el resultado actuando sobre la casilla Área.

19. Vuelve el deslizador Recomponer a la posición inicial. Cambia las dimensiones del trapecio. Mueve ahora otra vez el deslizador Recomponer. Contesta a las mismas preguntas que en el apartado anterior. Comprueba el resultado.

20. Repite el proceso algunas veces más. En todos los casos al recomponer la figura aparece un triángulo, ¿qué dimensiones (base y altura) tiene ese triángulo? ¿Qué representan esas dimensiones en el trapecio? ¿Qué relación hay entre el área del triángulo que se forma al final y la del trapecio del que partimos?

21. Si la base mayor del trapecio mide B, la menor mide b y la altura h, ¿qué fórmula podemos utilizar para calcular su área? Expresa con tus palabras el significado de la fórmula que nos permite calcular el área de un trapecio.

22. Las bases de un trapecio miden 8 cm y 5 cm, respectivamente, y su altura es de 6 cm. ¿Cuál es su área? Comprueba el resultado con la aplicación.

Área de un cuadrilátero

23. Coloca el deslizador en la posición Cuadrilátero. Actúa sobre el deslizador Recomponer que tienes en la parte superior. Los puntos señalados en cada lado del cuadrilátero son sus puntos medios. Observa la figura que resulta al unir esos puntos: es un cuadrilátero que tiene los lados paralelos dos a dos, ¿qué nombre recibe esa figura?

24. Observa la figura que resulta al final del recorrido del deslizador Recomponer. Compara el área de la figura obtenida con la del cuadrilátero del que partimos: ¿son iguales? ¿Es el doble? ¿Es la mitad?

25. Vuelve el deslizador Recomponer a la posición inicial. Cambia las dimensiones del cuadrilátero. Mueve ahora otra vez el deslizador Recomponer. Contesta a las mismas preguntas que en el apartado anterior.

26. Expresa con tus palabras el significado de la relación que has observado en los dos apartados anteriores. Si aún no lo ves claro cambia las dimensiones del cuadrilátero y repite todo el proceso.

27. Al unir los puntos medios de un cuadrilátero se forma un paralelogramo, cuya base mide 8 cm y cuya altura es de 5 cm. ¿Cuál es el área del cuadrilátero?

Área de un polígono regular

28. Sitúa el deslizador en la posición Polígono regular. Utiliza el deslizador azul para fijar el número de lados en 8. Actúa sobre el deslizador Recomponer que tienes en la parte superior. ¿Qué es lo que ha ocurrido? ¿Cuántos triángulos han quedado? ¿Cómo son esos triángulos?

29. Si conocieras el área de uno de los triángulos, ¿serías capaz de calcular el área del octógono? ¿Cómo la calcularías?

30. La altura de los triángulos es igual a la longitud del segmento que une el centro del polígono con el punto medio de uno de los lados y se denomina apotema. Si la apotema del octógono mide 2,03 cm y su lado es de 1,68 cm, ¿cuál es el área de cada uno de los triángulos que se han formado? ¿Cuánto vale el área del octógono? Comprueba tu resultado haciendo clic en la casilla Área.

31. Observa la figura que se ha formado ahora: es un romboide cuya base es igual al perímetro del polígono y cuya altura es la apotema. ¿Cuánto vale el área de ese romboide? Compara el área del romboide con la del polígono: ¿son iguales? ¿Es el doble? ¿Es la mitad? Cambia el número de lados del polígono regular y observa los resultados que obtienes.

32. Si el perímetro de un polígono regular mide p y su apotema mide a, ¿qué fórmula podemos utilizar para calcular su área? Expresa con tus palabras el significado de la fórmula que nos permite calcular el área de un polígono regular.

33. El lado de un hexágono regular mide 2,2 cm y su apotema 1,91, ¿cuál es su área? Comprueba el resultado con la aplicación.