Muchas experiencias aleatorias consisten en la repetición de una experiencia aleatoria simple en la que sólo se considera si ocurre o no cierto suceso, cuya probabilidad de ocurrencia es constante en cada prueba. En este tipo de experiencias podemos definir la variable aleatoria que cuenta el número de veces que se presenta un determinado suceso. Esta variable aleatoria sigue una ley o distribución binomial. Puedes ver aquí sus características.

En esta aplicación vamos a explorar algunas de las propiedades de la distribución binomial. Los deslizadores de la ventana gráfica superior te permitirán ajustar los valores de n y p a cada una de las situaciones que se plantearán. En la hoja de cálculo se muestran los parámetros de la distribución binomial B(n,p), para los valores de n y p seleccionados, así como las probabilidades p[x=k] y p[x≤k]. Además dispondremos de otros elementos, en la vistas gráficas, que nos van a permitir calcular probabilidades o analizar el ajuste de una distribución binomial, en determinadas circunstancias, por una distribución normal. También analizaremos las propiedades de la gráfica de la función de probabilidad de la distribución binomial, en función de los valores de n y p.

Preguntas

1. ¿Qué distribución binomial se muestra? ¿Cuáles son sus parámetros? ¿Cuál es su función de probabilidad? Inventa un ejemplo de una situación que se corresponda con esos datos.

2. Fija los deslizadores de n y p de modo que se correspondan con la distribución binomial B(12,0.35). Activa ahora la casilla Cálculo de probabilidades. ¿Cuál es la probabilidad de que la variable tome el valor 3? ¿Cuál es la probabilidad de que la variable tome un valor comprendido entre 5 y 8, ambos inclusive? ¿Cuál es la probabilidad de que tome un valor menor que 5? ¿Y un valor mayor que 10? Indica en todos los casos cómo has obtenido la respuesta.

3. La probabilidad de que un arquero acierte en el blanco es 0.75. Se dispone a realizar una serie de 12 disparos. Ajusta los deslizadores de n y p en los valores adecuados y comprueba que tienes activada la casilla Cálculo de probabilidades. Contesta ahora a las siguientes preguntas, indicando cómo has obtenido, en cada caso, el resultado:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que el arquero acierte exactamente 4 veces?

2. ¿Qué probabilidad hay de que no acierte ninguno?

3. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte 11 o 12 veces?

4. ¿Y la de que acierte 9 o más veces?

5. ¿Y la de que acierte menos de 5 veces?

6. ¿Y la de que acierte más de 7 veces?

4. Fija el deslizador de n en el valor n=8. Mueve ahora el deslizador de p para que tome todos los valores comprendidos entre 0 y 1. Al hacerlo, observa cómo va cambiando la gráfica de la función de probabilidad. ¿Para qué valores de p obtienes una gráfica simétrica? ¿Para que valores hay una gráfica con asimetría positiva o hacia la derecha? ¿Para qué valores la gráfica tiene asimetría negativa o hacia la izquierda? Comprueba tus observaciones haciendo los correspondientes cálculos del coeficiente de asimetría (puedes ver aquí cómo se calcula).

5. Fija ahora los valores de n y p en n=8 y p=0.5, respectivamente. Observa la columna B de la hoja de cálculo. Compara la probabilidad p[x=k] con la probabilidad p[x=8-k], ¿qué relación hay? ¿Por qué ocurre eso? ¿Qué efecto tiene esa relación en la gráfica de la función de probabilidad?

6. Activa la casilla Cálculo de probabilidades. Activa también la casilla correspondiente para calcular la probabilidad p[x=0]. Selecciona n=10 y mueve lentamente el deslizador p para que tome todos los valores entre 0 y 1. Observa los valores que va tomando p[x=0]. Fíjate también en el gráfico. Repite la experiencia con otros valores de n. ¿Qué observas? ¿Por qué ocurre eso?

7. Cambia ahora el valor de la casilla de entrada para calcular la probabilidad p[x=1]. Selecciona n=10 y mueve lentamente el deslizador p para que tome todos los valores entre 0 y 1. Observa los valores que va tomando p[x=1]. Fíjate también en el gráfico. Repite la experiencia con otros valores de n. ¿Qué observas? ¿Por qué ocurre eso?

8. Fija n=10. Compara el gráfico y las probabilidades que obtienes con p=0.4 con los resultados que obtienes con p=0.6. Compara ahora los resultados cuando p=0.8 con los que obtienes si p=0.2. Fíjate también en los gráficos respectivos. ¿Encuentras alguna relación, en cada caso?

9. Prueba para otros valores de n: fijado n, compara los resultados que obtienes para un valor p y para el valor 1-p. ¿Qué relación hay entre las distribuciones binomiales B(n,p) y B(n,1-p)? Más concretamente, ¿qué relación hay entre la probabilidad p[x=k] en la distribución binomial B(n,p) y la probabilidad p[x=n-k] en la distribución binomial B(n,1-p)? ¿Por qué?

10. Bajo determinadas condiciones, una distribución binomial se puede aproximar mediante una distribución normal. Desactiva la casilla Cálculo de probabilidades. Activa la casilla Ajuste mediante distribución normal. Coloca el deslizador de n en el valor n=10. Mueve el deslizador de p. ¿Entre qué valores de  p se obtiene una buena aproximación mediante una distribución normal? ¿Entre qué valores se obtiene una aproximación muy buena? Prueba con otros valores de n.

11. Desactiva la casilla Ajuste mediante una distribución normal. Activa la casilla Cálculo de probabilidades. Trata de resolver el siguiente problema: La producción de una máquina siempre presenta un cierto número de productos defectuosos. Supongamos que la probabilidad de que salga un producto defectuoso sea p. Un comprador de maquinaria siempre quiere probar las máquinas antes de comprarlas, para lo que hace fabricar 20 productos. Si, como máximo, aparecen dos productos defectuosos, compra la máquina. Determina la probabilidad de que compre la máquina, en función de la probabilidad p en los siguientes casos:

Completa la tabla y elabora un breve informe.

12. Trata de resolver ahora el siguiente problema: La probabilidad de que ocurra un determinado suceso A al realizar un experimento es 0.2. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra dos veces A al realizar 5 veces el experimento? ¿Cuál es el mínimo número de veces que hay que repetir ese experimento para que la probabilidad de que ocurra al menos una vez el suceso A sea mayor que 0.5?