Existen diversos procedimientos para calcular el área de una región de contorno curvo de forma muy aproximada. Por ejemplo, cubriéndola de un gran número de pequeños triángulos (triangulación) y sumando todas sus áreas. Cuanto menor sea el tamaño de los triángulos, menor será el error cometido.

Estos procedimientos son muy eficaces en las aplicaciones prácticas. Sin embargo, a veces necesitamos resultados absolutamente exactos que nos permitan demostrar propiedades o fundamentar nuevos conceptos.

Para ello, puede resultar de ayuda la relación entre el área bajo una curva y la derivada (teorema fundamental del cálculo), que se muestra en este conjunto de actividades.

Como consecuencia de esa relación, si conocemos la expresión algebraica de una función f en un intervalo [a, b], será suficiente encontrar de qué otra función deriva (es decir, encontrar una primitiva F) para que la diferencia de valores de esta primitiva F en los extremos del intervalo nos ofrezca la integral definida, es decir, el área (con signo) entre la gráfica de f y el eje X.

Como el área que ofrece la primitiva F tiene signo, primero hay que elegir los intervalos donde integrar, de forma que la función f no cambie de signo en ninguno de esos intervalos. Teniendo esta precaución, solo necesitamos descomponer la región de contorno curvo en los trozos suficientes para poder calcular el área de cada trozo por separado y después sumar (es decir, integrar) todas las áreas encontradas.

Preguntas

1. El radio del círculo que aparece en la escena es 2, así que su área es 4π. Vamos a transformar este círculo en otra figura muy conocida, pero en todo momento conservaremos su área, 4π. Pulsa el botón Transforma.

2. Ahora supondremos que el área del corazón nos es desconocida. Dada su simetría, podemos pensar en quedarnos con una mitad, digamos la derecha, girarla para colocarla sobre el eje X y hallar el área encerrada. Pero si hacemos eso la curva obtenida no es una función. ¿Por qué?

3. Ya que todos sabemos (por experiencia propia o ajena) que hay muchos modos de partir el corazón, elijamos otro más conveniente para nuestros cálculos. Vamos a partirlo por su diámetro horizontal, es decir, por la parte más ancha, haciendo coincidir la línea de corte con el eje X y el eje de simetría del corazón con el eje Y. Activa la casilla Áreas para verlo.

4. Ahora, tanto el borde de la parte superior (f) del corazón como el de la inferior (g) corresponden a gráficas de funciones. ¿Por qué? ¿En qué intervalo están definidas? En la escena aparece el valor de cada una de las áreas azules: comprueba que su suma sigue valiendo 4π. ¿Cuántas unidades es mayor el área inferior que el área superior?

5. Observa las expresiones algebraicas de f y g. ¿Tienen el mismo dominio? ¿Por qué? ¿Cuál es?

6. Ambas funciones son pares. ¿Cómo se sabe viendo sus gráficas? ¿Cómo se sabe viendo sus expresiones algebraicas?

7. Encuentra el valor de f y g en 0. ¿Cuál es el rango de g?

8. Sin derivar, solo viendo la expresión algebraica de g, ¿cómo podemos deducir que alcanza el mínimo en 0?

9. ¿Son las funciones f y g derivables en todos los puntos del intervalo (-2, 2)? ¿Por qué?

10. El máximo de f se alcanza en x = 2/sqrt(5), o el mismo valor en negativo. Realiza los cálculos necesarios para encontrar ese valor. ¿Cuál es el rango de f?

11. Los cálculos anteriores, ¿te permiten encontrar el mínimo relativo que f tiene en x=0? ¿Por qué?

12. Activa la casilla Primitivas para ver una primitiva F de f y una primitiva G de g, ambas con gráfica de color naranja. En ambos casos, ¿qué valor le hemos asignado a la constante de integración? ¿Cómo lo sabes?

13. ¿Cuál de las gráficas corresponde a F y cuál a G? ¿Cómo lo puedes averiguar?

14. Tanto F como G son monótonas (una creciente y otra decreciente). ¿Por qué?

15. Intenta partir el corazón haciendo clic sobre él. Con el corazón partío, ¿en qué varían las expresiones algebraicas de f y g? ¿Por qué?

16. Vuelve a recomponer el corazón. ¿Qué relación hay entre la diferencia de valores de F y G en los extremos del intervalo [-2, 2] y las áreas bajo f y sobre g? ¿Por qué en un caso coinciden y en el otro no?

17. ¿Qué operación hay que hacer con esos valores de F y G para recuperar el área del corazón, que sabemos que se mantiene en 4π?

18. Activa la casilla h = f - g. La gráfica (verde) de la función h corresponde a la función diferencia f - g. ¿Por qué toda su gráfica está por encima del eje X? Pon un ejemplo de dos funciones cuya diferencia no sea siempre positiva (o cero) o siempre negativa (o cero) en todos los valores de x.

19. El área bajo la gráfica de h nos ofrece directamente el área del corazón. ¿Por qué? ¿Tiene algo que ver que la integración tenga la propiedad de ser lineal? ¿Qué significa esto?