La visualización gráfica de una relación entre variables puede ser muy diversa, incluso eligiendo el mismo tipo de representación, como es el que recoge la dependencia de una variable respecto a otra (gráficas de funciones).

En esta actividad mostramos un ejemplo:

Una caja fuerte se desprende del electroimán que la sujetaba y entra en caída libre. A medio segundo del desprendimiento, pulsamos un cronómetro. Así averiguamos que la caja estuvo en el aire exactamente 2 segundos más antes de chocar contra el suelo.

Ya ha aparecido la primera variable: el tiempo t (de 0 a 2 segundos). En ese tiempo, la caja recorrió un espacio (no confundir con la variable "altura de la posición de la caja" que es decreciente: hemos decidido medir el espacio recorrido, que es creciente). Así que la segunda variable que compararemos es el espacio recorrido, e.

Al caer, la caja gana velocidad (tercera variable, v), debido a la aceleración de la gravedad (cuarta variable, a). Aunque esta última variable depende de la altura, en recorridos cortos podemos suponer que tiene un valor constante. También para simplificar, no consideraremos más variables, como la resistencia del aire o la fuerza del viento. Nuestras 4 variables alcanzan para realizar las 4∙3 = 12 gráficas diferentes que muestra la escena.

El botón de  Reproducir te permite animar la escena. Con el deslizador verde, a su izquierda, puedes ralentizar la reproducción. Cuando ese deslizador está al máximo (como al inicio), el tiempo coincidirá con el tiempo real (la caja tardará realmente 2 segundos en completar su caída).

El botón de  Reinicio, a la derecha del electroimán, permite devolver la caja a su posición inicial.

Preguntas

1. La gráfica 3 muestra la aceleración, que toma un valor constante, aproximadamente a = 9.8 m/s². Dicho de otra forma, el valor de la aceleración a no depende del tiempo. ¿Cuáles son los números de las gráficas que muestran que el valor de esta aceleración a tampoco depende del espacio ni de la velocidad?

2. De las 12 gráficas tres no corresponden a funciones. ¿Cuáles y por qué?

3. Si intercambiamos llos ejes, obtenemos la función inversa (si existe). De las 9 funciones, tres no tienen función inversa. ¿Cuáles y por qué?

4. Empareja las 6 funciones que poseen inversa con su función inversa correspondiente. Las dos gráficas de cada una de estas tres parejas (como la formada por las gráficas 1 y 4, por ejemplo) ofrece exactamente la misma información. ¿Por qué?

5. Por definición, la velocidad recoge las variaciones del espacio respecto al tiempo. Es decir, en cada instante, la velocidad es la función derivada del espacio respecto al tiempo: v(t) = e'(t), y por eso su unidad es m/s. Por su parte, la aceleración recoge las variaciones de la velocidad respecto al tiempo: a(t) = v'(t), y por eso su unidad es (m/s)/s.
   
   Sabemos que a(t) = 9.8 m/s² y que v(t) es una primitiva suya. Entonces v(t) tiene que ser de la forma v(t) = 9.8 t + C, donde C es alguna constante. ¿Por qué?

6. Observa la gráfica 2. Cuando t=0, la velocidad no es cero. En realidad, la expresión completa de la velocidad es v(t) = 9.8 (t + 0.5) m/s. ¿Por qué? ¿Cuánto vale, en tal caso, la anterior constante de integración C? ¿Qué velocidad había alcanzado la caja al poner en marcha (t=0) el cronómetro?

7. De la expresión anterior se deduce que la aceleración de unos 10 m/s² significa que en cada segundo de caída libre la caja recorre unos 10 m más que en el segundo anterior. ¿Por qué?

8. ¿Cón qué velocidad llega la caja al suelo, después de 2.5'' de caída libre? ¿A cuánto equivale en km/h?

9. El área bajo la gráfica 3 es la de un rectángulo 2∙9.8 = 19.6 unidades cuadradas. La diferencia de valores de v(t) en los extremos de la gráfica 2 es v(2)-v(0) = 24.5 - 4.9 = 19.6 m/s. ¿Casualidad? ¿Por qué?

10. Encuentra la expresión algebraica de la gráfica de la función 5, es decir, la función de cómo varía el tiempo respecto a la velocidad.

11. Las gráficas 2 y 5 forman parte de dos rectas. ¿Son esas rectas paralelas? La pendiente de la recta de la gráfica 2 vale 9.8. ¿Por qué? ¿Por qué en la gráfica parece que esa pendiente está próxima a 1? ¿Cuál es el valor exacto de la pendiente de la recta sin considerar las unidades en los ejes, es decir, tal cual la percibimos en la gráfica? ¿Cuánto vale la pendiente de la recta de la gráfica 5? ¿Y sin considerar las unidades en los ejes?

12. Como v(t) = e'(t), tenemos que la expresión de e(t) debe ser de la forma e(t) = 4.9 (t + 0.5)² + C, donde C es alguna constante. ¿Por qué?

13. Observa la gráfica 1. Cuando t=0, el espacio recorrido por la caja no es cero. En realidad, la expresión completa del espacio es e(t) = 4.9 (t + 0.5)² m. ¿Cuánto vale, en tal caso, la anterior constante de integración C? ¿Qué espacio había recorrido la caja al poner en marcha (t=0) el cronómetro? ¿Qué espacio recorre en total la caja en su caída libre?

14. El área bajo la gráfica 2 es la de un trapecio de altura 2 y bases 4.9 y 24.5. Así que su área es de 29.4 unidades cuadradas. La diferencia de valores de e(t) en los extremos de la gráfica 1 es e(2)-e(0) = 30.625 - 1.225 = 29.4 m. ¿Casualidad? ¿Por qué?

15. Expón alguna razón por la que consideres por qué, de entre las 12 posibles gráficas, la gráfica 1 es casi siempre la que aparece como expresión de un movimiento de aceleración constante (movimiento uniformemente acelerado).