La palabra tangente puede referirse a:

Recta tangente: La recta que "toca" a la curva en un solo punto.

Tangente de un ángulo: Una razón trigonométrica del ángulo (cateto opuesto entre cateto contiguo).

Ambos conceptos están íntimamente relacionados, de ahí el uso del mismo nombre, tangente, para ambos. Resulta que:

La pendiente de la recta tangente es la tangente del ángulo que forma esa recta con la horizontal.

Preguntas

1. En un triángulo rectángulo, la tangente de un ángulo agudo se define como la razón (proporción) entre el cateto opuesto y el cateto contiguo al ángulo.
   
   La pendiente de la recta coincide con la tangente del ángulo que forma la recta con la horizontal. Mueve el punto y compruébalo en varios casos.

2. Observa que se ha dotado de signo a la longitud de los catetos según su orientación. De esta forma, la tangente de un ángulo negativo será también negativa. ¿Con qué longitudes de catetos consigues una inclinación de -45º?

3. Pero, ¿por qué nos complicamos? Si lo que queremos es un indicador de la inclinación de una recta, ¿no sería más fácil definir pendiente como el ángulo de inclinación, en vez de la tangente de ese ángulo?
   
   Más fácil, tal vez, pero no mejor. Supón que asciendes por una cuesta con una inclinación de 45º.  Esto significa que, en cada paso, subes en vertical la misma distancia que avanzas en horizontal. 
   
   ¿Cómo sería una cuesta dos veces más pronunciada?

4. Si la pendiente fuese simplemente el ángulo, al ser 90º el doble de 45º, estaríamos ascendiendo por una pared vertical. Esto no tiene mucho sentido. ¿Y si fuese tres veces más pronunciada? ¿Qué sentido puedes darle?

5. Para no caer en dificultades similares, lo lógico es que en estas cuestas, por cada paso que avancemos, subamos el doble de altura, el triple, etc.
   
   Dicho de otra forma, elegimos como pendiente la proporción (la tangente del ángulo) para, precisamente,  mantener la proporción entre distintas pendientes.
   
   ¿Con qué longitudes de catetos consigues una pendiente del doble de la de 45º? ¿A qué ángulo corresponde? ¿Es este ángulo el doble de 45º?