Dos problemas fundamentales en la historia de las Matemáticas, a través de los siglos, con importantes y variadas aplicaciones prácticas, son:

1. Trazar con total precisión la recta tangente a una curva cualquiera en un punto determinado.

2. Calcular exactamente el área de regiones limitadas por líneas curvas.

Sorprendentemente, ¡ambos problemas están estrechamente relacionados!

Tomemos un tramo (recto o curvo) de la gráfica de una función. En esta actividad y las siguientes, nos aproximaremos a las ideas más importantes del cálculo infinitesimal mediante la observación del comportamiento de la pendiente de una recta (el propio tramo recto o la recta tangente a la curva en cada punto) y el área bajo otra curva relacionada (que recoge los valores de esas pendientes).

La gráfica de la función F que queremos analizar está representada con color verde. Recuerda que la pendiente de una recta es el cociente Δy/Δx, es decir, la proporción entre lo que ascendemos (con signo +) o descendemos (con signo -) en vertical y lo que avanzamos en horizontal para pasar de un punto a otro situado a su derecha.

Puedes mover directamente el punto azul. O bien, puedes animarlo pulsando el botón   Reproducir-Parar.

Preguntas

1. La gráfica verde es la representación de una función F en cierto intervalo cerrado. ¿Qué intervalo es ese?

2. La función F es continua en ese intervalo cerrado. ¿Qué significa eso?

3. Observa el primer tramo de la gráfica de la función F. Va, en línea recta, desde A₁(0,-1) hasta A₂(5,4). Sitúa el punto azul en la abscisa 0. El punto hueco naranja se situará en A₁. Pulsa el botón de Reproducir y detén la animación al llegar al punto A₂. ¿Cuántas unidades asciende el punto naranja al recorrer el primer tramo? ¿Cuántas unidades se desplaza hacia la derecha? ¿Cuál es la pendiente de ese tramo recto?

4. Observa el primer tramo de la gráfica de la función F. Va, en línea recta, desde A₂(5,4) hasta A₃(11,-1). Sitúa el punto naranja en A₂ y pulsa el botón de Reproducir. ¿Cuántas unidades desciende el punto naranja al recorrer el segundo tramo? ¿Cuántas unidades se desplaza hacia la derecha? ¿Cuál es la pendiente de ese tramo recto?

5. El máximo absoluto de una función cualquiera F en un intervalo cerrado es el punto (x, F(x)) donde la función toma el mayor valor que puede alcanzar (es decir, donde F(x) es máximo). ¿Cuál es el punto más alto de la gráfica? ¿Cuál es su altura F(x)? ¿Cuál es el máximo absoluto (x, F(x)) de la función en ese intervalo?

6. El mínimo absoluto de una función cualquiera F en un intervalo cerrado es el punto (x, F(x)) donde la función toma el menor valor que puede alcanzar (es decir, F(x) es mínimo). ¿Cuál es el punto más bajo de la gráfica? ¿Cuál es su altura F(x)? ¿Cuál es el mínimo absoluto (x, F(x)) de la función en ese intervalo?

7. El recorrido o rango de una función F es el conjunto o intervalo de todos los valores F(x) que puede alcanzar. ¿Cuál es el rango correspondiente a esa poligonal verde? Haz clic sobre el título del menú "Recorrido o rango" y comprueba tu respuesta activando las casillas "Extremos absolutos" y "Banda horizontal".

8. ¿Cuáles son las ecuaciones de las rectas horizontales que limitan la banda horizontal?

9. Haz clic sobre el título del menú "T V M". Sitúa el punto naranja en (0,-1). Pulsa el botón de Reproducir y para la animación al llegar al punto (11,-1). ¿Cuántas unidades asciende el punto naranja al recorrer toda la gráfica? ¿Cuántas unidades se desplaza hacia la derecha? ¿Cuál es la pendiente media (Tasa de Variación Media) de la función F en ese intervalo?

10. Puedes ver dos triángulos azules, uno grande y otro pequeño. Explica qué significa cada uno. ¿Son triángulos rectángulos? ¿Por qué? ¿Son semejantes? ¿Por qué? ¿La proporción entre sus catetos es la misma? ¿Qué significa el número 0.09 que aparece en el triángulo pequeño?

11. (Solo si has estudiado trigonometría:) Activa la casilla Ángulo de inclinación. ¿Qué relación guarda este ángulo con la proporción de catetos de la pregunta anterior?

12. Haz clic sobre el título del menú "Primera derivada". ¿Qué significa el porcentaje que aparece? ¿Se conserva su valor en cada tramo? ¿Por qué? ¿Cambia la señal de tráfico según el tramo escogido? ¿Por qué?

13. La expresión que aparece dy/dx, es el valor de la pendiente en cada punto (x,y) y se llama derivada en ese punto. En cualquier tramo recto, la derivada de cada punto de ese tramo permanece constante. ¿Por qué?

14. ESPECIAL ATENCIÓN: La expresión dy/dx significa lo mismo que el cociente Δy/Δx, solo que llevado al límite. Es decir, muestra cuanto ascendemos (+) o descendemos (-) al pasar de un punto a otro situado "infinitamente próximo" a su derecha. Basándote en la semejanza de triángulos, como aparece en la pregunta 10, explica por qué en los tramos rectos ambas expresiones tienen que coincidir: dy/dx = Δy/Δx.

15. Desactiva la casilla "% inclinación en P" y activa la casilla Función derivada. Aparecerá otra función F', cuya gráfica (violeta) se deriva de la gráfica de la función verde. A cada punto (x, F(x)) = (x, y)  de la gráfica original F le corresponde el punto (x, F'(x)) = (x, dy/dx) en la gráfica derivada F'.
    
    Esto implica que la altura de la línea violeta es, en cada tramo, la misma que la pendiente de la gráfica verde, la ecuación del primer tramo violeta corresponde a la recta y = 1 y la del segundo tramo violeta a la recta y = -1. Explica por qué.

16. ESPECIAL ATENCIÓN: Si la gráfica de la función original verde F estuviera situada más arriba o más abajo de su posición actual, pero conservando exactamente su forma, ¿cambiaría la gráfica de la función derivada violeta? Por ejemplo, si los vértices de la poligonal F estuvieran situados una unidad más arriba, en (0,0), (5,5) y (11,-1), ¿cambiarían las pendientes de cada tramo? ¿Por qué?

17. Un extremo relativo es un punto de la gráfica que o bien está por encima (máximo relativo) de todos los puntos muy próximos a él, a ambos lados, o bien está por debajo (mínimo relativo) de todos ellos. ¿Tiene la función F algún extremo relativo? ¿Dónde y de qué tipo (máximo o mínimo)? Activa la casilla "Extremos relativos" para comprobarlo.

18. ¿Puede encontrarse un extremo relativo en el extremo izquierdo o derecho de la gráfica de F? Es decir, variando de posición el punto A₁ o el punto A₃, ¿podríamos convertir a alguno de los dos, o ambos, en extremos relativos? ¿Por qué?

19. Observa que en ese extremo relativo la gráfica forma un ángulo, se produce un cambio brusco de pendiente. Justo a su izquierda la pendiente del tramo es 1, mientras que a su derecha es -1. Decimos que en esos puntos angulosos o "picos" la función no tiene pendiente. Sabiendo esto, y observando sus gráficas, ¿cuál es valor de F en ese extremo relativo y cuál es el valor de su derivada F'?