En la actividad I hemos encontrado a partir de una función F (gráfica verde) otra función derivada F', cuya gráfica (violeta) se deriva de la gráfica de la función verde. A cada punto (x, F(x)) = (x, y)  de la gráfica original F le corresponde el punto (x, F'(x)) = (x, dy/dx) en la gráfica derivada F'.

Si la gráfica de la función original verde F estuviera situada más arriba o más abajo de su posición actual, pero conservando exactamente su forma, no cambiaría la gráfica de la función derivada violeta, pues esta queda definida por la inclinación o pendiente en cada punto de la gráfica de F, no por la altura a la que esté ese punto.

Decimos que F (verde), o cualquier desplazamiento vertical de F, es una primitiva de su función derivada F' (violeta).

Preguntas

1. Cualquier otra función de la forma F(x) + constante también será una primitiva de F', es decir, en cada punto la pendiente de F(x) y F(x) + constante tiene que ser la misma. Dicho de otra forma, todas las primitivas solo se diferencian en una constante. Explica por qué.

2. Imagina ahora que NO conocieras la función verde F (primitiva), pero sí conocieras la función violeta F' y supieras que se deriva de la verde. Es decir, sabes que cada valor de la función violeta F' es la pendiente de una función F que desconoces. Solo con esta información, ya puedes asegurar que la ecuación del primer tramo de la primitiva desconocida F tiene que corresponder a una recta de ecuación y = x + constante, y la del segundo tramo a una recta de ecuación y = - x + constante. Explica por qué.

3. Haz clic sobre el título del menú Integral y activa la casilla Función área. Pulsa el botón de Reproducir. La aplicación irá calculando el área acumulada bajo F' (asignándole un valor negativo si está por debajo del eje X). El valor resultante de esa área acumulada se hace visible al ser la altura de un nuevo punto, que es el que deja el rastro verde. ¿Observas alguna relación entre ese rastro (gráfico de la función área) y la función primitiva F?

4. Activa la casilla Primitiva de la derivada, lleva el punto azul a su tope izquierdo y vuelve a animar el proceso. ¿Cuánto mide el área entre el eje X y el primer tramo horizontal de la función derivada (como está por encima del eje, asígnale al área un signo positivo)? ¿Cuál el valor de la función área en el extremo derecho de ese intervalo? ¿Y en el izquierdo? ¿Cuál es la diferencia entre ambos valores?

5. ¿Cuánto mide el área entre el eje X y el segundo tramo horizontal de la función derivada (como está por debajo del eje, asígnale al área un signo negativo)? ¿Cuál el valor de la función área en el extremo derecho de ese intervalo? ¿Y en el izquierdo? ¿Cuál es la diferencia entre ambos valores?

6. En total, y considerando el signo positivo o negativo del área, ¿cuánto mide el área entre el eje X y el la función derivada? ¿Cuál el valor de la función área en el extremo derecho de la gráfica? ¿Y en el izquierdo? ¿Cuál es la diferencia entre ambos valores?

7. Supón que la gráfica de cierta función G une de forma continua los puntos (2,7) y (8, 10). ¿Cuánto mide el área (considerando signo) comprendida entre su función derivada y el eje X en el intervalo [2,8]? ¡Observa que no necesitamos conocer ni G ni la forma de su gráfica! ¡Esa área será la misma en cualquier caso!

8. Para calcular el área comprendida entre una función f y el eje X en un intervalo [a,b], basta averiguar cuál es una función primitiva F de la función dada f. ¿Por qué?

9. Imagina de nuevo que NO conoces la función primitiva verde, pero sí conoces su función derivada F' (violeta). ¿Podrías recuperar solo con esa información los valores originales de los puntos A₁, A₂ y A₃? ¿Y si te dieran además la posición de A₁, podrías entonces recuperar los valores e A₂ y A₃? ¿Cómo?
   
   Pongamos un caso concreto. Imagina que la función derivada F' vale 2 para todos los valores del intervalo (0,5) y vale -2 en todo el intervalo (5,11). Sabiendo que la función primitiva es continua (no se rompe en x = 5) y pasa por el punto A₁(0,7), ¿por cuáles otros dos puntos A₂ y A₃ debe pasar?
   
   ¿Por qué, para definir la función derivada F' en este caso concreto, hemos empleado intervalos abiertos en vez de intervalos cerrados? Esto es, ¿por qué no hemos dado el valor de la derivada en las abscisas 0, 5 y 11?