La gráfica de la función F que queremos analizar está representada con color verde. Recuerda que la pendiente de una recta es el cociente Δy/Δx, es decir, la proporción entre lo que ascendemos (con signo +) o descendemos (con signo -) en vertical y lo que avanzamos en horizontal para pasar de un punto a otro situado a su derecha.

Puedes mover directamente el punto azul. O bien, puedes animarlo pulsando el botón   Reproducir-Parar.

Preguntas

1. La función F alcanza, en el intervalo cerrado [0, 11], el máximo absoluto en el punto (5.25,4.01). ¿Dónde alcanza su mínimo absoluto? ¿Cuál es su rango? Comprueba tu respuesta en el menú Recorrido o rango.

2. Haz clic sobre el título del menú "T V M ". Sitúa el punto naranja en (0,-1). Pulsa el botón de Reproducir y para la animación al llegar al punto (11,-2). ¿Cuál es la Tasa de Variación Media de la función F en ese intervalo? Comprueba tu respuesta activando la casilla "Tasa de variación media".

3. (Solo si has estudiado trigonometría:) ¿A qué ángulo de inclinación corresponde esa tasa de variación media? Comprueba tu respuesta activando la casilla "Ángulo de inclinación".

4. Haz clic sobre el título del menú "Primera derivada". El porcentaje que aparece es la derivada dy/dx en el punto naranja, es decir, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de F en ese punto.  Activa la casilla Recta tangente para comprobarlo. A medida que el punto naranja se desplaza por la gráfica, de izquierda a derecha, ¿la pendiente de esa recta tangente es cada vez mayor, cada vez menor, o a veces sube y a veces baja?

5. Desactiva la casilla "% inclinación en P" y activa la casilla Función derivada. Aparecerá otra función F', cuya gráfica (violeta) se deriva de la gráfica de la función verde. A cada punto (x, F(x)) = (x, y)  de la gráfica original F le corresponde el punto (x, F'(x)) = (x, dy/dx) en la gráfica derivada F'.
   
   Esto implica que la altura de la línea violeta es, en cada punto, la misma que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de F. Compruébalo moviendo el punto naranja. ¿En qué punto la derivada de la función F coincide con la tasa de variación media?

6. ESPECIAL ATENCIÓN: Si la gráfica de la función original verde F estuviera situada más arriba o más abajo de su posición actual, pero conservando exactamente su forma, ¿cambiaría la gráfica de la función derivada violeta? Por ejemplo, si todos los puntos de la gráfica de la función F estuvieran situados tres unidades más abajo, ¿cambiaría la derivada de algún punto? ¿Por qué?

7. ¿Todas las funciones primitivas de una misma función solo se diferencian en una constante? ¿Por qué?

8. El mínimo absoluto de F, ¿es también un mínimo relativo? ¿Por qué? El máximo absoluto de F, ¿es también un máximo relativo? Compruébalo activando la casilla Extremos relativos.

9. ¿Cuál es el valor de la derivada en el extremo relativo?

10. Imagina ahora que NO conocieras la función verde F (primitiva), pero sí conocieras la función violeta F' y supieras que se deriva de la verde. Es decir, sabes que cada valor de la función violeta F' es la pendiente de una función F que desconoces. Solo con esta información, ya puedes asegurar que la función primitiva F crece en el intervalo (0, 5.25) y decrece en el intervalo (5.25, 11). Además, en 5.25 la función desconocida F debe tener un máximo relativo (y absoluto en el intervalo [0,11]). Explica por qué.

11. Haz clic sobre el título del menú Integral y activa la casilla Función área. Pulsa el botón de Reproducir. La aplicación irá calculando el área acumulada bajo F' (asignándole un valor negativo si está por debajo del eje X). El valor resultante de esa área acumulada se hace visible al ser la altura de un nuevo punto, que es el que deja el rastro verde. ¿Qué relación existe entre el gráfico de la función área y la función primitiva F?

12. Activa la casilla Primitiva de la derivada, lleva el punto azul a su tope izquierdo y vuelve a animar el proceso. Considerando el signo positivo o negativo del área, ¿cuánto mide el área entre el eje X y el la función derivada? ¿Cuál es el valor de la función área en el extremo derecho de la gráfica? ¿Y en el izquierdo? ¿Cuál es la diferencia entre ambos valores?

13. Supón que la gráfica de otra función G une de forma continua los puntos (0,-1) y (11, -2). ¿Cuánto mide el área (considerando signo) comprendida entre su función derivada G' y el eje X en el intervalo [0,11]? ¡Observa que no necesitamos conocer ni G ni la forma de su gráfica! ¡Esa área será la misma en cualquier caso!

14. Para calcular el área comprendida entre una función f y el eje X en un intervalo [a,b], basta averiguar cuál es una función primitiva F de la función dada f. ¿Por qué?

15. Una primitiva de la función f(x) = 3x² es la función G(x) = x³ + 12.3456789. ¿Es F(x) = x³ otra función primitiva de f (y de expresión más sencilla)? ¿Por qué?
    
    Observa que la gráfica de f(x) = 3x² siempre debe estar por encima del eje X, así que no hay que preocuparse por el signo asignado al área, pues siempre será positiva, por lo que su valor siempre coincidirá con la medida real de la superficie correspondiente. Habiendo observado esto, la superficie comprendida entre esa gráfica y el eje X en el intervalo [-2, 2] tiene que medir 16 unidades cuadradas. ¿Por qué?

16. Una primitiva de la función f(x) = 4x³ es la función G(x) = x⁴. Observa que la gráfica de f(x) = 4x³ siempre debe estar por encima del eje X para valores positivos de x. Además, f es impar, lo que significa algebraicamente que f(-x) = f(x) y geométricamente que la gráfica de f posee simetría central respecto al origen de coordenadas. Habiendo observado todo esto, la superficie comprendida entre esa gráfica y el eje X en el intervalo [-2, 2] tiene que medir 32 unidades cuadradas. ¿Por qué?