En las actividades I, II y III se muestran funciones determinadas por la posición de solo 3 puntos.

En esta actividad y en la siguiente veremos que, si añadimos más puntos, el comportamiento de la función derivada y el modo de recuperar su función primitiva mediante la función área es esencialmente el mismo.

Preguntas

1. La gráfica verde es la representación de una función F en cierto intervalo cerrado. ¿Qué intervalo es ese?

2. La función F es continua en ese intervalo cerrado. ¿Qué significa eso?

3. ¿Cuál el recorrido o rango de F? Haz clic sobre el título del menú "Recorrido o rango" y comprueba tu respuesta activando las casillas "Extremos absolutos" y "Banda horizontal".

4. ¿Cuál es la Tasa de Variación Media de la función F en ese intervalo? Haz clic sobre el título del menú "T V M" y comprueba tu respuesta.

5. Haz clic sobre el título del menú "Primera derivada". ¿Cuáles son los valores de las diferentes pendientes en cada tramo?

6. ¿Qué significa el porcentaje que aparece? ¿Se conserva su valor en cada tramo? ¿Por qué? ¿Cambia la señal de tráfico según el tramo escogido? ¿Por qué? Compara los valores de esos porcentajes con tu respuesta a la pregunta anterior.

7. ¿Cuánto vale la derivada dy/dx en cada punto de cada tramo? ¿Y en los extremos de cada tramo? ¿En qué tramos todos los puntos tienen derivada cero?

8. La ecuación del primer tramo horizontal de la función derivada es y = −1/2. ¿Cuál es la ecuación de cada uno de los demás tramos horizontales de la función derivada?

9. Si la gráfica de la función original verde F estuviera situada más arriba o más abajo de su posición actual, pero conservando exactamente su forma, ¿cambiaría la gráfica de la función derivada violeta? ¿Por qué?

10. ¿Tiene la función F algún extremo relativo? ¿Dónde y de qué tipo (máximo o mínimo)? Activa la casilla "Extremos relativos" para comprobarlo.

11. ¿Cuál es el valor de la derivada en cada uno de esos extremos relativos?

12. Imagina ahora que NO conocieras la función verde F (primitiva), pero sí conocieras la función violeta F' y supieras que se deriva de la verde. Es decir, sabes que cada valor de la función violeta F' es la pendiente de una función F que desconoces. Solo con esta información, ya puedes asegurar que la ecuación del primer tramo de la primitiva desconocida F tiene que corresponder a una recta de ecuación y = −x/2 + constante, la del segundo tramo a una recta de ecuación y = 2x + constante, y la del tercer tramo a una recta de ecuación y = constante. Explica por qué.

13. Haz clic sobre el título del menú Integral y activa la casilla Función área. Pulsa el botón de Reproducir. La aplicación irá calculando el área acumulada bajo F' (asignándole un valor negativo si está por debajo del eje X). El valor resultante de esa área acumulada se hace visible al ser la altura de un nuevo punto, que es el que deja el rastro verde. ¿Qué relación existe entre el gráfico de la función área y la función primitiva F?

14. Activa la casilla Primitiva de la derivada, lleva el punto azul a su tope izquierdo y vuelve a animar el proceso. Considerando el signo positivo o negativo del área, ¿cuánto mide el área entre el eje X y el la función derivada? ¿Cuál es el valor de la función área en el extremo derecho de la gráfica? ¿Y en el izquierdo? ¿Cuál es la diferencia entre ambos valores?

15. Supón que la gráfica de otra función G une de forma continua los puntos (0,-1) y (11, -2). ¿Cuánto mide el área (considerando signo) comprendida entre su función derivada G' y el eje X en el intervalo [0,11]? ¡Observa que no necesitamos conocer ni G ni la forma de su gráfica! ¡Esa área será la misma en cualquier caso!

16. Para calcular el área comprendida entre una función f y el eje X en un intervalo [a,b], basta averiguar cuál es una función primitiva F de la función dada f. ¿Por qué?