En las actividades I, II y III se muestran funciones determinadas por la posición de solo 3 puntos.

En la actividad IV hemos visto que, si añadimos más puntos, el comportamiento de la función derivada y el modo de recuperar su función primitiva mediante la función área es esencialmente el mismo.

En esta actividad también lo comprobaremos en el caso de tramos curvos. Recuerda que la derivada dy/dx en el punto naranja es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de F en ese punto.

Preguntas

1. La función F (gráfica verde) alcanza, en el intervalo cerrado [0, 11], el máximo absoluto en el punto (8, 4.2). ¿Dónde alcanza, aproximadamente, su mínimo absoluto? ¿Cuál es su rango? Comprueba tu respuesta en el menú Recorrido o rango.

2. ¿Cuál es la tasa de variación media de la función F en ese intervalo? Comprueba tu respuesta en el menú "T V M".

3. (Solo si has estudiado trigonometría:) ¿A qué ángulo de inclinación corresponde esa tasa de variación media? Comprueba tu respuesta activando la casilla Ángulo de inclinación.

4. Ve al menú "Primera derivada" y activa Extremos relativos. Uno de los extremos relativos no aparece marcado. ¿Por qué? ¿Cuál es el valor de la derivada en ese punto?

5. ¿Cuántas veces se anula la función primera derivada F' (violeta)? ¿Cuántos extremos relativos tiene la función F (verde)? ¿Hay alguna relación entre estas dos preguntas?

6. El mínimo absoluto de F, ¿es también un mínimo relativo? ¿Por qué? El máximo absoluto de F, ¿es también un máximo relativo? ¿Por qué?

7. Imagina ahora que NO conocieras la función verde F (primitiva), pero sí conocieras la función violeta F' y supieras que se deriva de la verde. Es decir, sabes que cada valor de la función violeta F' es la pendiente de una función F que desconoces. Solo con esta información, ya puedes asegurar dónde la función F es constante, dónde crece y dónde decrece. ¿Cómo lo deduces?

8. Haz clic sobre el título del menú Integral y activa la casilla Función área. Pulsa el botón de Reproducir. La aplicación irá calculando el área acumulada bajo F' (asignándole un valor negativo si está por debajo del eje X). El valor resultante de esa área acumulada se hace visible al ser la altura de un nuevo punto, que es el que deja el rastro verde. ¿Qué relación existe entre el gráfico de la función área y la función primitiva F?

9. Activa la casilla Primitiva de la derivada, lleva el punto azul a su tope izquierdo y vuelve a animar el proceso. Considerando el signo positivo o negativo del área, ¿cuánto mide el área entre el eje X y el la función derivada? ¿Cuál es el valor de la función área en el extremo derecho de la gráfica? ¿Y en el izquierdo? ¿Cuál es la diferencia entre ambos valores?

10. Supón que la gráfica de otra función G une de forma continua los puntos (0,2) y (11, 5). ¿Cuánto mide el área (considerando signo) comprendida entre su función derivada G' y el eje X en el intervalo [0,11]? ¡Observa que no necesitamos conocer ni G ni la forma de su gráfica! ¡Esa área será la misma en cualquier caso!

11. Para calcular el área comprendida entre una función f y el eje X en un intervalo [a,b], basta averiguar cuál es una función primitiva F de la función dada f. ¿Por qué?

12. La función área, que mide el área (considerando signo) acumulada entre la función derivada f = F' y el eje X, puede ser aproximada mediante trapecios. Activa la casilla Trapecios para comprobarlo. Pero esta aproximación es bastante mala, como puedes ver.
    
    ¿Crees que mejoraría si sumásemos muchos más trapecios, de base mucho más estrecha? Si en vez de trapecios usáramos rectángulos, tan finos como hilos, ¿crees que también podríamos aproximarnos a la función área tanto como queramos? Es decir, ¿crees que podríamos calcular la función área como la suma de infinitos trapecios o rectángulos de base infinitesimal entre la curva y el eje X?