La pendiente (derivada) en cada punto de una función genera una nueva función (función derivada) que representa el crecimiento, constancia o decrecimiento de la función primitiva.

La información recogida por la primera derivada nos permite conocer, sin necesidad de ver su gráfica, dónde la función primitiva está creciendo o está decreciendo. Pero además, nos permite averiguar dónde la función primitiva  tiene un extremo relativo (suave, pues si fuera anguloso no tendría derivada), pues en ese extremo se pasaría de crecer a decrecer, o viceversa.

Preguntas

1. El vector unitario tangente es el vector (de longitud 1) que indica en todo momento el sentido del movimiento del punto (naranja) sobre la gráfica (verde). Es un vector director de la recta tangente a la gráfica en ese punto. ¿Cuándo marcará una dirección horizontal?

2. El porcentaje que aparece es la derivada dy/dx en el punto naranja (x,y), es decir, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de F en ese punto, y se llama derivada en ese punto. Activa la casilla Recta tangente para comprobarlo.

3. La expresión que aparece dy/dx, es el valor de la pendiente en cada punto (x,y) y se llama derivada en ese punto. En la lista desplegable, elige "Valor absoluto". Observa que en cualquier tramo recto de la gráfica de esta función, la derivada de cada punto de ese tramo permanece constante. ¿Por qué?

4. En la lista desplegable, elige "Personalizada". La derivada dy/dx significa lo mismo que el cociente Δy/Δx, solo que llevado al límite. Es decir, muestra cuanto ascendemos (+) o descendemos (-) al pasar de un punto a otro situado "infinitamente próximo" a su derecha (límite por la derecha) o a su izquierda (límite por la izquierda). Al estar "infinitamente próximo" (a una distancia dx tan pequeña como deseemos), la recta que une ambos puntos coincide con la recta tangente, por eso se define la derivada como la pendiente de la recta tangente. Compruébalo moviendo el deslizador dx en distintas posiciones del punto naranja.

5. ¿Qué sucede en los extremos de la gráfica verde? ¿Están definidos a ambos lados los puntos infinitamente próximos? En estos casos solo podemos hablar de tangente "por la derecha" o "por la izquierda" y convenimos por ello en decir que no existe derivada (pendiente por ambos lados), aunque sí existe uno de los límites laterales.

6. Una consecuencia importante es que entonces no existe derivada (no es derivable) en los puntos donde la función no sea continua (al romperse, no puede haber puntos infinitamente próximos a ambos lados).
   
   Tenemos entonces que:
   
             no continua ⇒ no derivable
   
   ¿Esto es lo mismo que afirmar lo siguiente?:
   
             derivable ⇒ continua
   
   ¿Por qué?

7. Mantén dx en el valor mínimo disponible (0.01). ¿Qué ocurre en el punto de abscisa 10.3? ¿Por qué? (Compara el porcentaje de pendiente justo antes y justo después.) En ese punto también convenimos en que no hay derivada, porque no coincide la pendiente a ambos lados (esos puntos se denominan puntos angulosos o simplemente picos).

8. Activa la casilla Función derivada. Aparecerá otra función F', cuya gráfica (violeta) se deriva de la gráfica de la función verde. A cada punto (x, F(x)) = (x, y)  de la gráfica original F le corresponde el punto (x, F'(x)) = (x, dy/dx) en la gráfica derivada F'. ¿Cómo son los intervalos en los que está definida la función derivada: abiertos o cerrados? ¿Por qué?

9. ¿Qué característica común tienen los puntos en los que se anula la función derivada?

10. Activa la casilla Extremos relativos. ¿Cómo es el crecimiento o decrecimiento de la función entre dos extremos consecutivos? ¿Cómo es, en esos mismos intervalos, el signo de la primera derivada?

11. Imagina que no conoces la función primitiva (verde) pero sí puedes ver la gráfica de la función derivada (violeta). Escribe todo lo que puedas deducir sobre el comportamiento de la función primitiva a partir de la gráfica de la función derivada.