La pendiente (derivada) en cada punto de una función genera una nueva función (función derivada) que representa el crecimiento, constancia o decrecimiento de la función primitiva.

Esta función derivada se puede volver a derivar, es decir, podemos crear una nueva función que represente cómo crece o decrece esta función derivada. Esta nueva función se conoce como segunda derivada.

Esto significa, respecto a la función primitiva, que la segunda derivada no mide su crecimiento (o decrecimiento) sino su ritmo de crecimiento (positivo si cada vez crece o decrece más y negativo si cada vez crece o decrece menos).

Veremos que según sea este ritmo de crecimiento, esto es, según sea positiva o negativa la segunda derivada, la gráfica de la función primitiva se curvará en un sentido u en otro (convexidad positiva, convexidad negativa).

Nota: En muchas fuentes (p.e. Wikipedia, Wolfram MathWorld...) denominan convexa a la función (o tramo de función) con convexidad positiva y cóncava a la que tiene convexidad negativa. En otras fuentes aparece justo al revés. En realidad, esto es solo un convenio (como el sentido en que giran la mayoría de los relojes), no hay un argumento lógico a favor de una u otra opción, solo depende del punto de vista. (Aunque mayoritariamente, se acuerda que la función f(x) = x² se denomine convexa.)

Lo que en cualquier caso diferencia una de otra convexidad es el sentido del vector curvatura respecto al vector tangente o el signo de la segunda derivada, de ahí que hayamos optado por usar este signo para diferenciarlas.

Preguntas

1. El vector curvatura es un vector perpendicular (normal) a la recta tangente. ¿Hacia qué lado de la recta tangente se dirige siempre el vector curvatura?

2. Activa la casilla Círculo osculador. ¿Qué relación observas entre el tamaño del círculo osculador y la forma de la gráfica en ese punto?

3. Desactiva las casillas "Recta tangente" y "Círculo osculador". Activa la casilla Puntos de inflexión. ¿Qué crees que le sucede a la función primitiva (verde) en ellos?

4. ¿Qué sucede con el valor de la derivada entre dos puntos de inflexión?

5. Activa la casilla Función 2ª derivada. Recuerda que es la función derivada (roja) de la primera derivada (violeta) de la función primitiva (verde). ¿Qué relación hay entre los extremos relativos de la primera derivada y los puntos de inflexión de la función primitiva? ¿Por qué?

6. ¿Qué relación hay entre el crecimiento y decrecimiento de la primera derivada (violeta) y el signo de la segunda derivada (roja)? ¿Por qué?

7. ¿Qué relación hay entre la curvatura de la función primitiva (verde) y el signo de la segunda derivada (roja)? ¿Por qué?

8. ¿En qué intervalos la función primitiva (verde) es convexa positiva (se curva hacia arriba, como la letra u)? ¿En cuáles es convexa negativa (se curva hacia abajo, como la letra n)?

9. En la lista desplegable, elige la función "Valor absoluto". ¿Qué le pasa a la función segunda derivada (gráfica roja) en cada tramo recto? ¿Por qué?

10. En la lista desplegable, elige la función "Personalizada". ¿Por qué no están marcados los extremos del intervalo como puntos de inflexión? ¿Cuál es el valor de la segunda derivada en esos extremos?

11. ¿Cuál es una función primitiva de la función segunda derivada? ¿Cómo calcularías el área (con signo) total entre la gráfica de la segunda derivada y el eje X? ¿Sabes decir, sin hacer cálculos, si el signo de esa área total será positivo o negativo?

12. Escribe todo lo que podrías deducir de la función primitiva (verde) si solo pudieras ver la gráfica de la función segunda derivada (roja).