Definir un número irracional, como "raíz de 2", parece sencillo: es aquél número que elevado al cuadrado de 2. Es decir, es la raíz del polinomio P(x) = x² -2.

Así lo podríamos definir a un ordenador para que pueda operar con radicales de forma exacta (cálculo simbólico), sin usar aproximaciones decimales. Pero surge el problema que esa definición coincide con la de "menos raíz de 2".

¿Cómo puede el ordenador diferenciar ambos números? Fácil, uno es positivo y otro negativo. Pero, ¿y si complicamos la expresión radical? ¿Cómo hacer para distinguir las raíces de un polinomio de grado 4, por ejemplo?

En esta actividad veremos una propiedad de los signos de las derivadas en las raíces de cualquier polinomio que nos permite diferenciarlas mediante signos (de la misma forma que sabemos distinguir "raíz de 2" de "menos raíz de 2").

Lo haremos mediante un ejemplo que facilite su observación: un polinomio de grado 4 con raíces simétricas respecto al origen (una función par que, al igualar a cero, nos permite obtener fácilmente sus cuatro raíces resolviendo la ecuación bicuadrática correspondiente).

Preguntas

1. En la escena aparece el polinomio P(x) = (x⁴ -20x² +16)/50. Hemos dividido entre 50 (puedes variar este valor con el deslizador del panel de la izquierda) el polinomio original (x⁴ -20x² +16) para suavizar su forma, pero esto no afecta a sus raíces r₁, r₂, r₃ y r₄. ¿Por qué?

2. En la escena también puedes ver la expresión simbólica de estas raíces. Escribe cuál es la expresión que corresponde exactamente a r₁, r₂, r₃ y r₄.

3. Las raíces mostradas son las soluciones de la ecuación x⁴ -20x² +16 = 0. Compruébalo resolviendo esta ecuación bicuadrática.

4. ¿Qué relación hay entre los dos puntos azules y las raíces? Mueve los puntos para comprobarlo.

5. Si la altura de alguno de los puntos azules se hace negativa, las raíces desaparecen. ¿Por qué?

6. Si la altura de alguno de los puntos azules se hace cero, las cuatro raíces distintas se convierten en dos raíces múltiples. ¿Por qué?

7. ¿Para qué posición de los puntos azules el polinomio solo tendrá una raíz de multiplicidad 4?

8. ¿Qué relación hay entre los dos puntos azules y los coeficientes del polinomio? Mueve los puntos para comprobarlo. Cuando finalices, vuelve a dejarlos en las posiciones 3 y 7.

9. Este polinomio es una función par. ¿Cómo lo puedes saber a partir de su gráfica? ¿Cómo lo puedes saber a partir de su expresión algebraica?

10. Activa la casilla P'. Aparecerá la gráfica de la primera derivada. Los signos de P' en las sucesivas raíces son, ordenadamente, {-1, 1, -1, 1}. Observa que van alternando. ¿Por qué?

11. Activa y desactiva P'' y P''' para poder cubrir la siguiente tabla.
     

    polinomio	sgn(r1)	sgn(r2)	sgn(r3)	sgn(r4)
    P	0	0	0	0
    P'	-1	1	-1	1
    P''	1
    P'''	-1
    P''''	1	1	1	1

12. ¿Por qué no hemos continuado la tabla con la quinta derivada, la sexta, etc.?

13. Sin necesidad de hallar la expresión completa de las sucesivas derivadas P', P''..., ¿puedes calcular la expresión completa de P^''''?

14. En un polinomio cualquiera de grado n, el signo del polinomio siempre será el mismo (0) en todas sus raíces, por definición de raíz. Ahora bien, el signo de su derivada enésima también será siempre el mismo en todas sus raíces. ¿Cuál y por qué?

15. ¿Cuál es la expresión completa de la enésima derivada del polinomio P(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + ... + a₀?

16. Observa ahora las columnas coloreadas en la tabla anterior. La primera columna (azul) corresponde a los signos que toman las tres primeras derivadas en la primera raíz, r₁. La segunda columna, a los signos que tomas las tres primeras derivadas en la segunda raíz, r₂. Etc. ¿Hay dos columnas iguales?

17. La respuesta a la pregunta anterior es negativa. El lema de Thom asegura precisamente que no puede haber dos columnas iguales. Así que cada columna distingue a la raíz correspondiente del resto de las raíces. ¿Todos los polinomios de grado 4 tendrán esos mismos signos en cada columna? ¿Por qué?

18. El enunciado del lema de Thom es el siguiente:
    
    Dado cualquier polinomio P(x) de grado n, para cualesquiera dos raíces reales distintas de P(x), las dos sucesiones de signos que toman las n-1 primeras derivadas en cada una de las dos raíces se distinguen al menos en un signo.
    
    Esto quiere decir que si suministramos a un ordenador el valor de una raíz r de un polinomio P(x) como:
    
    {P(x), sgn(P'(r)), sgn(P''(r)), ..., sgn(P^n-1)(r))}
    
    entonces el valor queda perfectamente determinado, sin posibles ambigüedades. ¿Por qué?