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En la escena aparece el polinomio P(x) = (x⁴ -20x² +16)/50.
Hemos dividido entre 50 (puedes variar este valor con el deslizador del panel
de la izquierda) el polinomio original (x⁴ -20x² +16) para suavizar su forma,
pero esto no afecta a sus raíces r1, r2, r3 y
r4. ¿Por qué?
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En la escena también puedes ver la expresión
simbólica de estas raíces. Escribe cuál es la expresión que corresponde
exactamente a r1, r2, r3 y r4.
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Las raíces mostradas son las soluciones de la
ecuación x⁴ -20x² +16 = 0. Compruébalo resolviendo esta ecuación bicuadrática.
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¿Qué relación hay entre los dos puntos azules y
las raíces? Mueve los puntos para comprobarlo.
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Si la altura de alguno de los puntos azules se hace negativa, las raíces
desaparecen. ¿Por qué?
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Si la altura de alguno de los puntos azules se hace cero, las cuatro raíces
distintas se convierten en dos raíces múltiples. ¿Por qué?
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¿Para qué posición de los puntos azules el polinomio solo tendrá una raíz
de multiplicidad 4?
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¿Qué relación hay entre los dos puntos azules y
los coeficientes del polinomio? Mueve los puntos para comprobarlo. Cuando
finalices, vuelve a dejarlos en las posiciones 3 y 7.
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Este polinomio es una función par. ¿Cómo lo
puedes saber a partir de su gráfica? ¿Cómo lo puedes saber a partir de su
expresión algebraica?
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Activa la casilla P'. Aparecerá la gráfica de la
primera derivada. Los signos de P' en las sucesivas raíces son, ordenadamente,
{-1, 1, -1, 1}. Observa que van alternando. ¿Por qué?
Activa y desactiva P'' y P''' para poder cubrir la
siguiente tabla.
polinomio |
sgn(r1) |
sgn(r2) |
sgn(r3) |
sgn(r4) |
P |
0 |
0 |
0 |
0 |
P' |
-1 |
1 |
-1 |
1 |
P'' |
1 |
|
|
|
P''' |
-1 |
|
|
|
P'''' |
1 |
1 |
1 |
1 |
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¿Por qué no hemos continuado la tabla con la
quinta derivada, la sexta, etc.?
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Sin necesidad de hallar la expresión completa de
las sucesivas derivadas P', P''..., ¿puedes calcular la expresión completa de
P''''?
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En un polinomio cualquiera de grado n, el signo
del polinomio siempre será el mismo (0) en todas sus raíces, por definición de
raíz. Ahora bien, el signo de su derivada enésima también será siempre el
mismo en todas sus raíces. ¿Cuál y por qué?
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¿Cuál es la expresión completa de la enésima
derivada del polinomio P(x) = an xn + an-1 xn-1
+ ... + a0?
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Observa ahora las columnas coloreadas en la tabla
anterior. La primera columna (azul) corresponde a los signos que toman las
tres primeras derivadas en la primera raíz, r1. La segunda columna,
a los signos que tomas las tres primeras derivadas en la segunda raíz, r2.
Etc. ¿Hay dos columnas iguales?
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La respuesta a la pregunta anterior es negativa.
El lema de Thom asegura precisamente que no puede haber dos columnas iguales.
Así que cada columna distingue a la raíz correspondiente del resto de las
raíces. ¿Todos los polinomios de grado 4 tendrán esos mismos signos en cada
columna? ¿Por qué?
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El enunciado del lema de Thom es el siguiente:
Dado cualquier polinomio P(x) de grado n, para cualesquiera
dos raíces reales distintas de P(x), las dos sucesiones de signos que
toman las n-1 primeras derivadas en cada una de las dos raíces se
distinguen al menos en un signo.
Esto quiere decir que si suministramos a un ordenador el valor de una raíz r
de un polinomio P(x) como:
{P(x), sgn(P'(r)), sgn(P''(r)), ..., sgn(Pn-1)(r))}
entonces el valor queda perfectamente determinado, sin posibles ambigüedades.
¿Por qué?