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El curioso comportamiento de una cuerda al vibrar generó un interés excepcional entre los matemáticos, dando lugar a una de las controversias más encendidas y fructíferas en la historia de las Matemáticas.

Hasta el siglo XVIII, la matemática no se encuentra lo suficientemente avanzada para abordar este problema. En 1715, Brook Taylor encuentra que el movimiento de un punto arbitrario de la cuerda es el de un péndulo simple y, como consecuencia, la forma de la curva que toma la cuerda en un instante dado debería ser sinusoidal.

Pero el sonido fundamental correspondiente a esa vibración pendular no es el único que emite la cuerda al vibrar. Simultáneamente, se producen otros sonidos (parciales) de menor intensidad. La distribución e intensidad de estos parciales (timbre) diferencian instrumentos o voces que ejecuten la misma nota.

En el caso de los instrumentos de cuerda y viento, las frecuencias de estos parciales son múltiplos de la frecuencia fundamental F. De estos múltiplos (armónicos), el primero es la propia frecuencia fundamental, el segundo el doble (2F), el tercer armónico el triple (3F), etc.

¿Por qué múltiplos exactos?

Ahora bien, lo curioso es que la cuerda no varía alternativamente entre un armónico y otro, sino que emite todos los sonidos armónicos al mismo tiempo. He aquí la miga de la cuestión, causa de intriga y discusión entre los matemáticos: ¿cómo se las arregla la cuerda para vibrar de varias formas distintas a la vez? Esto es lo que se preguntaban matemáticos geniales como D'Alembert, Daniel Bernoulli, Euler, Fourier y Dirichlet.

Preguntas

1. Explora la aplicación. Activa la casilla Cuerda. En la parte superior puedes controlar la amplitud (intensidad) de cada armónico (deslizadores azules) entre 0 y un máximo (que disminuye al aumentar el número del armónico). ¿Qué le sucede a la cuerda cuando realizas variaciones en la amplitud de los armónicos?

Primer armónico

2. Reinicia la aplicación y anima la cuerda. Observa que corresponde al 1º armónico (sonido fundamental) que emite la cuerda, ya que el resto de los armónicos tienen amplitud nula.
   
   Escucha el sonido. Corresponde a la nota La₃ (octava 3, nota La), base de la afinación orquestal actual. Lo que escuchas es el golpeteo de las moléculas de aire contra tus tímpanos, 440 veces por segundo. Para que se pueda ver la forma de la cuerda al vibrar, hemos ralentizado su movimiento usando el deslizador Velocidad.
   
   La ecuación del movimiento tiene la forma a₁(x,t) = A₁ sen(x) sen(t), donde x es la posición de cada punto, t es el tiempo y A₁ la amplitud. Detén la cuerda: ¿a qué tipo de función corresponde la gráfica representada por la cuerda inmóvil?

3. Anima la cuerda. ¿Para qué valores del tiempo t la cuerda aparecerá en su posición horizontal de reposo?

4. Naturalmente, los puntos de los extremos de la cuerda están fijos, no vibran. Si el extremo izquierdo corresponde a la posición x=0, ¿a qué valor de x corresponde el extremo derecho de la cuerda?

5. ¿Tiene el movimiento de la cuerda algún nodo, es decir, algún punto distinto de los extremos, que nunca se mueva? Si lo tiene, ¿a qué valor o valores de x corresponde?

6. Activa el rastro de la cuerda. La frontera de la superficie que se crea se denomina envolvente del movimiento de la cuerda. ¿Cuál es su ecuación? (Considera solo la parte superior, la otra es simétrica.)

Segundo armónico

7. Desactiva el rastro de la cuerda. Anula la amplitud del 1º armónico y sube la amplitud del 2º. Escucha el sonido: es la nota La₄. ¿A qué frecuencia corresponde?

8. ¿Cuántas veces vibra más rápido la cuerda en este armónico que en el anterior?

9. La ecuación del movimiento tiene la forma a₂(x,t) = A₂ sen(2x) sen(2t). Detén la cuerda: ¿a qué tipo de función corresponde la gráfica representada por la cuerda inmóvil?

10. Anima la cuerda. ¿Para qué valores del tiempo t la cuerda aparecerá en su posición horizontal de reposo?

11. ¿Tiene el movimiento de la cuerda algún nodo? Si lo tiene, ¿a qué valor o valores de x corresponde?

12. Activa el rastro de la cuerda. ¿Cuál es su ecuación de la envolvente?

Tercer armónico

13. Desactiva el rastro de la cuerda. Anula la amplitud del 2º armónico y sube la amplitud del 3º. Escucha el sonido: está próximo a la nota Mi₅. ¿A qué frecuencia corresponde?

14. ¿Cuántas veces vibra más rápido la cuerda en este armónico que en el anterior?

15. La ecuación del movimiento tiene la forma a₃(x,t) = A₃ sen(3x) sen(3t). Detén la cuerda: ¿a qué tipo de función corresponde la gráfica representada por la cuerda inmóvil?

16. Anima la cuerda. ¿Para qué valores del tiempo t la cuerda aparecerá en su posición horizontal de reposo?

17. ¿A qué valores de x corresponden los nodos?

18. Activa el rastro de la cuerda. ¿Cuál es su ecuación de la envolvente?

Cuarto armónico

19. Desactiva el rastro de la cuerda. Anula la amplitud del 3º armónico y sube la amplitud del 4º. Escucha el sonido: es la nota La₅. ¿A qué frecuencia corresponde?

20. ¿Cuántas veces vibra más rápido la cuerda en este armónico que en el anterior?

21. La ecuación del movimiento tiene la forma a₄(x,t) = A₄ sen(4x) sen(4t). Detén la cuerda: ¿a qué tipo de función corresponde la gráfica representada por la cuerda inmóvil?

22. Anima la cuerda. ¿Para qué valores del tiempo t la cuerda aparecerá en su posición horizontal de reposo?

23. ¿A qué valores de x corresponden los nodos?

24. Activa el rastro de la cuerda. ¿Cuál es su ecuación de la envolvente?

Quinto armónico

25. Desactiva el rastro de la cuerda. Anula la amplitud del 4º armónico y sube la amplitud del 5º. Escucha el sonido: está próximo a la nota Do₆. ¿A qué frecuencia corresponde?

26. ¿Cuántas veces vibra más rápido la cuerda en este armónico que en el anterior?

27. La ecuación del movimiento tiene la forma a₅(x,t) = A₅ sen(5x) sen(5t). Detén la cuerda: ¿a qué tipo de función corresponde la gráfica representada por la cuerda inmóvil?

28. Anima la cuerda. ¿Para qué valores del tiempo t la cuerda aparecerá en su posición horizontal de reposo?

29. ¿A qué valores de x corresponden los nodos?

30. Activa el rastro de la cuerda. ¿Cuál es su ecuación de la envolvente?

Sumando armónicos

31. La cuerda no vibra de ninguno de los modos armónicos, sino de una suma ponderada de ellos (denominada serie de Fourier). Los coeficientes de la serie de Fourier (A₁, A₂, A₃...) varían según la intensidad de los distintos armónicos (y por lo tanto, según el timbre del instrumento). El número de sumandos es infinito, aquí solo aparecen los cinco primeros.
    
    Las series de Fourier representan funciones mucho más generales que las funciones "normales" (analíticas): el valor de la serie en un intervalo no contiene ninguna información sobre el valor en otro intervalo.
    
    Desactiva el rastro de la cuerda. ¿Qué amplitudes debes dar a cada armónico para que la suma de todos ellos genere una función de onda con forma de sierra? ¿Y con forma de trapecios?