Esta es una paradoja ideada por el filósofo presocrático Zenón (siglo V a.C.) para defender la teoría de que el movimiento no existe en la realidad, sino que es solo una ilusión de nuestros sentidos. Para ello, emplea (seguramente por primera vez en la historia) el método de demostración por reducción al absurdo:

El veloz Aquiles compite en una carrera con una tortuga. Para compensar la diferencia de velocidades, la tortuga parte con una ventaja inicial. Una vez comenzada la carrera, Aquiles recorre ese espacio de ventaja, pero en ese tiempo la tortuga ya ha avanzado otro tramo. Cuando Aquiles recorre este segundo espacio, la tortuga ya ha avanzado otro espacio más, y así sucesivamente. Por lo tanto, Aquiles nunca logrará alcanzar a la tortuga, pues cada vez que alcance la posición que había ocupado la tortuga, esta ya habrá avanzado otro tramo.

Pero en la realidad, concluye Zenón, observamos que Aquiles logra alcanzar a la tortuga. Esta paradoja, esta contradicción, este absurdo, no se debe a algún error lógico de su razonamiento sino, dice Zenón, a que lo que llamamos movimiento es solo una observación subjetiva, una percepción, una ilusión. Así, no existe realmente ni movimiento, ni paso del tiempo, ni siquiera distancia: todo el universo es una unidad estática que observamos fragmentada debido a las limitaciones de nuestros sentidos.

En esta actividad veremos que, actualmente, el experimento mental de Aquiles y la tortuga no solo no es paradójico, sino que resulta muy ilustrativo de los fundamentales conceptos matemáticos de número real, límite, sucesión convergente y continuidad.

Para simplificar supondremos que la velocidad de la tortuga es siempre de 0.5 m/s (es una tortuga olímpica).

Preguntas

1. Observa la escena. Al iniciarse la aplicación, la velocidad de Aquiles es 2 veces la de la tortuga (Aquiles anda sin ninguna prisa) y la ventaja que esta le lleva es de 1 km. Cuando Aquiles haya recorrido ese kilómetro, ¿qué distancia habrá recorrido la tortuga? Compruébalo haciendo clic sobre el botón de Reproducir/Parar (arriba a la izquierda). Haz clic sobre él de nuevo al alcanzar esa posición, para detener la animación.

2. Construye la sucesión de distancias, en metros, {a_n} = {1000, 500, 250...} que ha de superar Aquiles cada vez que alcanza la posición en donde se encontraba la tortuga en el paso lógico anterior. Comprueba con la animación los resultados obtenidos. Puedes alterar la velocidad de la animación con el deslizador naranja. ¿A qué valor se aproxima cada vez más esa sucesión?

3. La sucesión anterior es una progresión geométrica. ¿Cuál es su razón r, es decir, cuál es el factor r por el que hay que multiplicar cada término para obtener el siguiente?

4. ¿Cuál es la expresión del término general a_n de esa sucesión, en función de n?

5. Calcula el límite de la sucesión {a_n}, cuando n tiende a infinito.

6. Construye la sucesión de distancias acumuladas, en metros, {S_n} = {1000, 1500, 1750...} que va superando Aquiles cada vez que alcanza la posición en donde se encontraba la tortuga en el paso lógico anterior. Comprueba con la animación los resultados obtenidos. ¿A qué valor se aproxima cada vez más esa sucesión?

7. Cada elemento S_n es la suma de a_n con todos los anteriores:
   
   S_n = a₁ + ... + a_n
   
   Como cada término a_n es r veces el anterior, esa suma equivale a:
   
   S_n = a₁ + ... + a₁ r^n-1
   
   Multiplicando los dos miembros de esta igualdad por la razón r, obtenemos S_n r = a₁ r + ... + a₁ rⁿ. Restando miembro a miembro esta igualdad de la anterior obtenemos S_n (1-r) = a₁ (1 - rⁿ_). ¿Por qué?

8. Despeja S_n y encuentra su límite S, cuando n tiende a infinito. Como caso particular, ¿cuál es el valor de este límite cuando a₁ vale 1000 y r vale 1/2?

9. Observa que S es la suma de infinitos sumandos, sin embargo S es un número finito. ¿Cómo puede ser, a qué se debe que la suma no sea también infinita?

10. Construye la sucesión de tiempos, en segundos, {t_n} = {1000, 500, 250...} que ha tarda Aquiles en superar el tramo correspondiente a cada paso lógico. Comprueba con la animación los resultados obtenidos. Calcula el límite de esa sucesión, cuando n tiende a infinito.

11. Construye la sucesión de tiempos acumulados, en segundos, {T_n} = {1000, 1500, 1750...} que tarda Aquiles en alcanzar la posición en donde se encontraba la tortuga en el paso lógico anterior. Comprueba con la animación los resultados obtenidos. Encuentra el límite T de esta sucesión, cuando n tiende a infinito.

12. Supongamos ahora que la velocidad de Aquiles es 10 veces la de la tortuga: desplaza el deslizador azul hasta el valor 10. Construye la sucesión de distancias, en metros, {a_n} = {1000, 100, 10...} que ha de superar Aquiles cada vez que alcanza la posición en donde se encontraba la tortuga en el paso lógico anterior. Comprueba con la animación los resultados obtenidos. Calcula el límite de esa sucesión, cuando n tiende a infinito.

13. Construye la sucesión de distancias acumuladas, en metros, {S_n} = {1000, 1100, 1110...} que va superando Aquiles cada vez que alcanza la posición en donde se encontraba la tortuga en el paso lógico anterior. Comprueba con la animación los resultados obtenidos. Encuentra el límite S de esta sucesión, cuando n tiende a infinito.

14. Expresa el anterior límite S de dos formas: como fracción y como desarrollo decimal infinito. ¿A qué se debe que en una expresión usemos solo un número finito de cifras y en la otra necesitemos un número infinito de cifras? Observa que cada cifra del desarrollo decimal corresponde a un paso lógico del razonamiento de Zenón. Así que hay infinitos pasos lógicos e infinitas cifras de desarrollo decimal, pero Aquiles no ha recorrido un espacio infinito. Expresa con tus propias palabras dónde se encuentra el error lógico en la supuesta paradoja de Zenón.

15. Construye la sucesión de tiempos, en segundos, {t_n} = {200, 20, 2...} que ha tarda Aquiles en superar el tramo correspondiente a cada paso lógico. Comprueba con la animación los resultados obtenidos. Calcula el límite de esa sucesión, cuando n tiende a infinito.

16. Construye la sucesión de tiempos acumulados, en segundos, {T_n} = {200, 220, 222...} que tarda Aquiles en alcanzar la posición en donde se encontraba la tortuga en el paso lógico anterior. Comprueba con la animación los resultados obtenidos. Encuentra el límite T de esta sucesión, cuando n tiende a infinito.

17. Hoy en día, una de las posibles maneras de definir un número real cualquiera (sea racional o irracional) es como límite de una sucesión convergente de números racionales. Por ejemplo, el número π = 3.141592... se puede definir como el límite de la sucesión {3, 31/10, 314/100, 3141/1000, ...}. Otra cosa diferente es que conozcamos o podamos algún día conocer una ley de formación de esa sucesión u otra que converja a π (para este número particular conocemos varias).
    
    En realidad, todos los números que podemos o podremos calcular (números computables) son una ínfima cantidad de todos los números reales. Podemos computar todos los números naturales (sumando 1 las veces necesarias), enteros (restando dos naturales) y racionales (dividiendo dos enteros). También podemos calcular todos los números algebraicos, es decir, raíces de cualquier polinomio de coeficientes racionales (esto incluye todas las raíces cuadradas, cúbicas, etc.). Incluso podemos calcular algunos números no algebraicos como π o el número e. Todos ellos forman un conjunto numerable. ¿Qué significa numerable?
    
    Sin embargo, el conjunto de los números reales no es numerable, lo que quiere decir que hay infinitamente más números que jamás podremos calcular que los que sí. Esto es, todos los resultados de algoritmos finitos que los más impresionantes superordenadores del futuro puedan computar no son sino una cantidad infinitesimal de la cantidad total de números reales: la inmensa mayoría de ellos nunca podrán ser calculados.
    
    Busca en Internet una fórmula (un algoritmo finito) que permita a un ordenador actual encontrar los sucesivos decimales del número computable π, del que en 2011 ya se conocen los primeros diez billones de cifras decimales (escribiendo 5 cifras por centímetro, los decimales conocidos de π colocados en línea recta llegarían a la Luna y volverían a la Tierra unas 26 veces).