Este fractal resulta muy sencillo de ir construyendo paso a paso, partiendo de un triángulo cualquiera. En el primer paso unimos los puntos medios de los lados. De este modo, el triángulo queda dividido en cuatro triángulos. De ellos, descartamos el triángulo central. Ahora solo tenemos que repetir ("iterar") el proceso en cada uno de los tres triángulos que quedan... y así sucesivamente, infinitamente.

Los fractales son objetos matemáticos recientes y muy atractivos, tanto desde el punto de vista teórico como práctico. Con el nombre de El juego del caos se conoce a un tipo de iteración que, a veces, genera un modelo fractal de forma no recursiva, como atractor de un sistema dinámico caótico.

El juego consiste en lo siguiente. Se elige un punto D cualquiera. En cada paso, y aleatoriamente (es decir, con igual probabilidad de 1/3), el punto D se dirige hacia uno de los vértices del triángulo original, recorriendo solo la mitad de la distancia que los separa.

Veamos cómo, casi mágicamente, este proceso iterativo genera el triángulo de Sierpinski.

Preguntas

1. Observa el primer escenario (es decir, el primer applet de esta página). En la primera iteración del triángulo de Sierpinski, los triángulos que creamos son semejantes al triángulo original. ¿Por qué?

2. ¿Qué área tiene cada uno de esos triángulos con respecto al original?

3. En todas las iteraciones, todos los triángulos que se van creando son semejantes al triángulo original. ¿Por qué?

4. Si las longitudes de los lados del triángulo original son a, b y c, ¿cuáles son las longitudes de los triángulos creados en las iteraciones sucesivas?

5. Vete ahora al segundo escenario. Pulsa el botón "Una iteración" varias veces. ¿Cómo describirías el comportamiento del punto D? ¿Sigue alguna ley o se mueve al azar?

6. Pulsa varias veces el botón "Mil iteraciones". Aparecerán marcadas las posiciones que el punto D ha ido ocupando en cada una de esas mil iteraciones. ¿Cómo describirías ahora el comportamiento del punto D? ¿Ocupa posiciones cualesquiera?