En esta actividad veremos qué significado tiene el límite por la izquierda de una función en un punto, considerando el siguiente caso particular:

• Como función tomaremos F(x) = 1/2 x³ + 2

• Como punto tomaremos el correspondiente a la abscisa c = 2

Preguntas

1. ¿Qué valor alcanza F en 2?

2. Mueve el punto azul, que está a la izquierda de 2, hacia 2. ¿Hacia qué valor se aproxima cada vez más el valor de la función en la abscisa del punto azul?

3. ¿Cuál es valor de la función en 1.9? ¿Y en 1.99? ¿Y en 1.999? (Puedes controlar con precisión la posición del punto azul usando las teclas flecha o las teclas + y -).

4. Como ves, el valor de la función F a la izquierda de 2 se aproxima sucesivamente al valor que alcanza F en 2, que es 4. Decimos que el límite de F(x) cuando x tiende a 2 por la izquierda es 4, y escribimos esta igualdad tal como aparece en la escena.
   
   Escribe con la misma notación la igualdad correspondiente a la afirmación: "el límite de 6/x cuando x tiende a 2 por la izquierda es 3".

5. Pero no siempre pasará lo anterior. Existen funciones que en determinados puntos "saltan bruscamente" de valor. Elige la Escena 2. ¿Qué valor alcanza F en 2? Compruébalo en la escena.

6. Mueve el punto azul, que está a la izquierda de 2, hacia 2. ¿Hacia qué valor se aproxima cada vez más el valor de la función en la abscisa del punto azul?

7. ¿Cuál es valor de la función en 1.9? ¿Y en 1.99? ¿Y en 1.999?

8. Como ves, el valor de la función F a la izquierda de 2 se aproxima sucesivamente al mismo valor que antes: 4. Pero ahora, ¡4 no es es el valor que alcanza F en 2! Igual que antes, decimos que el límite de F(x) cuando x tiende a 2 por la izquierda es 4, y escribimos esta igualdad tal como aparece en la escena.

9. Ahora generalizamos el procedimiento que hemos seguido. Para saber si el comportamiento de una función sufre un salto en un punto, al aproximarnos a él por la izquierda, necesitamos calcular cuál es su tendencia en esta aproximación. Al valor que encontremos le llamamos límite por la izquierda en ese punto.
   
   Elige la Escena 3. Sea c un valor determinado. El valor c + h se aproxima cada vez más al valor c si tomamos h un número negativo cada vez más próximo a cero. Decimos que x tiende al valor c por la izquierda y lo denotamos con un superíndice -:   x → c^-
   
   ¿A qué valor tenderá F(c+h)? Como h tiende a cero, cabría pensar que el valor buscado será siempre F(c). Y esto sucederá muchas veces, pero no siempre, como ya hemos visto.
   
   En cualquier caso, el valor al que tiende F(x) cuando x tiende a c por la izquierda se llama límite por la izquierda de F en c.
   
   En la gráfica presentada en la escena 3, ¿coincide este límite por la izquierda con el valor de la función en c? ¿Cómo lo sabes?

10. Para que exista el límite lateral por la izquierda de una función F en c, deben cumplirse dos circunstancias en el entorno (es decir, muy cerca) de ese valor c:
    
    i) La función debe estar definida a la izquierda de c, para que tenga sentido hablar de F(c + h).

    ii) La función debe estar acotada a la izquierda de c, es decir, no debe tender a un infinito.

     

    Elige la Escena 4. La función F(x)= 1/(x-2) no tiene límite por la izquierda en 2. ¿Por qué?
    
    Nota: Aunque si no se cumple la segunda condición el límite no existe, es conveniente para múltiples usos constatar esta tendencia de la función hacia el infinito. Así que podremos escribir expresiones como la que aparece en esta escena: "el límite de 1/(x-2) cuando x tiende a 2 por la izquierda es menos infinito".