La hipótesis de este teorema es que contamos con una función F que es continua en un intervalo cerrado [a,b] cuyos valores en sus extremos F(a) y F(b) tienen distinto signo.

La tesis del teorema es que, en tal caso, la función se anula en algún punto del intervalo (a,b).

Observa que como el intervalo es cerrado, tiene sentido hablar tanto de F(a) como de F(b). Veremos que, intuitivamente, este enunciado es muy sencillo (otra cosa es que sea sencillo demostrarlo formalmente).

Observa también que el teorema nos garantiza que debe existir al menos un cierto valor x del intervalo (a,b) para el cual F(x) = 0. Pero solo nos asegura que tiene que haber ese valor, no nos dice nada de cómo encontrarlo.

Preguntas

1. La función F es continua en el intervalo [0,11]. ¿Cumple las hipótesis del teorema de Bolzano? ¿Por qué?

2. La hipótesis "la función tiene diferente signo en los extremos del intervalo [a,b]" puede formularse de otras formas.
   
   Una de ellas es:  O bien F(a) < 0 < F(b), o bien F(a) > 0 > F(b)
   
   Otra forma es:  F(a) F(b) < 0
   
   Y también:  Los puntos extremos de la gráfica (a, F(a)) y (b, F(b)) se encuentran a ambos lados del eje X.
   
   Explica por qué estos tres enunciados son equivalentes al primero. La última forma de enunciado es la más intuitiva: si dos puntos se encuentran a ambos lados del eje X, resulta muy natural (es decir, está muy corroborado por nuestra propia experiencia en casos similares) pensar que cualquier línea continua que los una tendrá que cruzar ese eje, de la misma forma que para pasar de uno a otro lado de un río hace falta cruzarlo por algún sitio.

3. ¿Verifica la función F la tesis del teorema de Bolzano? ¿Por qué?

4. Una posible idea para la demostración del teorema de Bolzano es la de "aproximaciones sucesivas". Por ejemplo, podemos considerar el valor medio del intervalo [a,b]. En el caso de la función F, este valor es 5.5. En ese valor solo pueden pasar tres cosas:
   
   F(5.5)>0, F(5.5)=0, F(5.5)<0.
   
   En el primer caso, nos quedamos con el intervalo [5.5, 11], que seguiría cumpliendo la hipótesis del teorema. ¿Por qué? En ese intervalo volveríamos a considerar su valor medio, y así sucesivamente.
   
   En el segundo caso, ya hemos encontrado el valor buscado.
   
   En el tercer caso, nos quedamos con el intervalo [0, 5.5], que seguiría cumpliendo la hipótesis del teorema. ¿Por qué? En ese intervalo volveríamos a considerar su valor medio, y así sucesivamente.
   
   Escribe la lista de los cinco intervalos siguientes de la sucesión de intervalos encajados que vamos obteniendo en el caso de F: [0, 11], [0, 5.5], [2.25, 5.5], ...

5. ¿A qué valor se aproximarán los dos extremos de estos intervalos? ¿Por qué? Como esa aproximación es sucesiva, ¿cuál será el valor límite que alcanzarán ambos extremos en una infinidad de pasos?

6. ¿A qué número se aproximará el valor de la función F en esos extremos? ¿Por qué? Como esa aproximación es sucesiva, ¿cuál será el valor límite que alcanzará la función F en una infinidad de pasos?

7. Los valores de ambos límites demuestran el teorema de Bolzano. ¿Por qué?

8. Cambia la expresión de la función F para proponer otros ejemplos en los que se verifique el teorema de Bolzano.

9. Escribe como expresión de la función F:

2floor(sqrt(x)) - 1

(Puedes copiar la expresión usando Ctrl C y pegarla en el casilla de la función con Ctrl V.) Aparecerá la gráfica de una función que toma valores de signo opuesto en los extremos del intervalo [0,11] y, sin embargo, no cumple el teorema de Bolzano. ¿Por qué no se verifica la tesis? ¿Qué hipótesis no se cumple?