Para unir dos puntos con un trazo, podemos elegir un trazado recto o curvo. El trazado recto es único, pero existen infinidad de curvas entre dos puntos.

El simple trazado recto corresponde a la llamada curva de Bézier de grado 1 (o lineal), pero la cosa se anima para grados mayores. Las curvas de Bézier de grado mayor que 1 resultan extraordinariamente sencillas para crear trayectorias curvas entre dos puntos. Para construirlas, se interpola entre los extremos uno o más puntos. Cuantos más puntos interpolemos, de más grado (y posibilidades de control) será la curva. Por este motivo, los puntos interpolados se denominan puntos de control de la curva.

Pero simplemente interpolando uno o dos puntos de control (curvas de Bézier de grado 2 y 3) se obtienen resultados muy aceptables para una gran diversidad de situaciones. Por ejemplo, cada una de las letras de este texto (y casi cualquier otro que encuentres en una pantalla) ha sido diseñada usando curvas de Bézier cuadráticas y la mayoría de los gráficos vectoriales usan curvas de Bézier cúbicas.

Preguntas

Escena 1

1. Mediante un problema de ejemplo, comprobaremos que una función cuadrática queda determinada por las dos tangentes desde un punto exterior, si conocemos los puntos de tangencia:
   
   Desde el punto C(3,3) trazamos tangentes a la parábola. Los puntos de tangencia son A(1,0) y B(5,2). Halla la ecuación de la función cuadrática g correspondiente a esa parábola.
   
   Ayuda:

La función cuadrática tiene la forma:    g(x) = a x² + b x + c

La ecuación de la recta tangente a g en un punto (x₀, y₀) es:    y - y₀ = g'(x₀) (x - x₀)

Una vez encontrada, comprueba la ecuación escribiéndola en la casilla "g(x) =".

Escena 2

2. Examina la figura. El vector u es AC y el vector v es CB. El vector u_P es AP₁ y el vector v_P es CP₂. Gracias a una propiedad de la parábola, para cualquier posición de P se cumple:
   
   |u_P|:|u| = |v_P|:|v|
   
   Explica cómo se han construido P₁ y P₂ y qué significado tiene esa igualdad.

Escena 3

3. El punto Q₀ está definido como Q₀ = A + t w. Al variar t entre 0 y 1, el lugar geométrico que recorre Q₀ es la curva de Bézier de grado 1 (lineal), es decir, el segmento AB. Basándote en la definición de Q₀, explica por qué, al variar t, el punto Q₀ debe recorrer precisamente ese segmento.

Escena 4

4. Ya que el par de tangentes determinan la curva, veremos ahora cómo proceder a la inversa, es decir, cómo crear la curva parabólica a partir de los segmentos AC y CB.
   
   Primero, construimos Q₁ y Q₂ recorriendo ambos segmentos, de forma análoga a como hemos construido Q₀. Escribe las ecuaciones de Q₁ y Q₂.

5. Después, y del mismo modo, construimos Q entre Q₁ y Q₂. Escribe su ecuación en función de t, A, u y v. ¿Qué tipo de ecuación es?

6. Usa la herramienta personal Bézier2 (último botón de la barra de herramientas) para comprobar trazar la curva de Bézier de grado 2 entre A y B, con punto de control en C. Después, bórrala antes de pasar a la escena 5.

Escena 5

7. La construcción muestra una curva de Bézier de grado 3, con extremos en A y B y puntos de control en C y D. Explica qué proceso se seguiría para construir ese lugar geométrico y que tipo de curva describen los puntos blancos y verdes.
   
   Puedes mover el punto de control D para observar que la curva generada no es una cuadrática. También puedes animar automáticamente el proceso (clic derecho sobre el deslizador t).
   
   Por último, usa la herramienta Bézier2 sucesivamente, para crear una curva cerrada con la forma que tu imaginación prefiera. Cuantos más puntos emplees como extremos encadenados, más control tendrás para modelar la forma a tu gusto.