En esta aplicación puedes ver los 5 poliedros regulares, todos ellos centrados en el origen de coordenadas.

Los ocho vértices del cubo tienen por coordenadas (±1, ±1, ±1). Es decir, (1,1,1), (-1,1,1), (1,-1,1), etc.

Usando los vectores de la base canónica:

 i = (1,0,0)      j = (0,1,0)      k = (0,0,1)

esas coordenadas se pueden expresar como como las componentes de los vectores de posición  ± i ± j ± k.

Es decir, i + j + k, i + j + k, etc.

Así, por ejemplo, las coordenadas del punto (5,2,3) corresponden al vector de posición 5i + 2j + 3k.

Preguntas

1. En el casilla Vector Posición, escribe i + j + k para comprobar que señala un vértice del cubo. Haz lo propio con otro par de vértices más.

2. Con respecto al cubo, ¿dónde están situados los puntos (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1)? Recuerda que el vector de posición del punto (1,0,0) se introduce como i, etc.

3. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices del tetraedro? Compruébalo con su vector de posición.

4. Halla las coordenadas de los vértices del octaedro y compruébalas con su vector de posición. Observa la relación entre la simetría de las coordenadas y la simetría de los vértices.

5. Al igual que sucede en el pentágono, la razón áurea fi = (1+sqrt(5))/2 = 1.618... se encuentra fuertemente relacionada con el icosaedro. Por ejemplo, uno de sus vértices es (0,1,fi), cuyo vector de posición es j + fi k. Intenta encontrar las coordenadas de los demás vértices del icosaedro (comprobándolas usando el vector de posición: escribe fi para referirte a la razón áurea). Para encontrar todas rápidamente, haz uso de la simetría que han de tener esas coordenadas.

6. La razón áurea fi, junto con su inversa (1/fi = fi-1), también se encuentra presente en el poliedro dual del icosaedro, el dodecaedro. Solo sabiendo eso, intenta encontrar las coordenadas de todos los vértices del dodecaedro (comprobándolas usando el vector de posición). Recuerda la simetría que han de tener esas coordenadas.