Soluciones

  1. Al variar la amplitud de los armónicos, la cuerda adopta diferentes formas.

Primer armónico

  1. Una vez fijado un valor t0 para el tiempo, la función será a1(x) = A1 sen(t0) sen(x), cuya gráfica es una sinusoidal.

  2. La cuerda aparecerá en su posición horizontal de reposo cuando sen(t) = 0, es decir, para valores del tiempo t múltiplos de .

  3. El extremo derecho de la cuerda tiene que corresponder al menor valor positivo para el cual sen(x) vuelva a valer 0, es decir, al valor x = .

  4. No hay nodos.

  5. La ecuación corresponderá al valor del tiempo para el cual sen(t) sea máximo (es decir, 1). Por tanto la función envolvente será E1(x) = A1 sen(x).

Segundo armónico

  1. Corresponde al doble de frecuencia que el sonido fundamental: 880 Hz.

  2. La cuerda vibra el doble de rápido que en el armónico anterior.

  3. Una vez fijado un valor t0 para el tiempo, la función será a2(x) = A2 sen(2t0) sen(2x), cuya gráfica es una sinusoidal.

  4. La cuerda aparecerá en su posición horizontal de reposo cuando sen(2t) = 0, es decir, para valores del tiempo t múltiplos de /2.

  5. Aparece un nodo en x = /2.

  6. La función envolvente será E2(x) = A2 |sen(2x)|.

Tercer armónico

  1. Corresponde al triple de frecuencia que el sonido fundamental: 1320 Hz.

  2. La cuerda vibra el triple de rápido que en el primer armónico, es decir, 3/2 más deprisa que en el armónico anterior.

  3. Una vez fijado un valor t0 para el tiempo, la función será a3(x) = A3 sen(3t0) sen(3x), cuya gráfica es una sinusoidal.

  4. La cuerda aparecerá en su posición horizontal de reposo cuando sen(3t) = 0, es decir, para valores del tiempo t múltiplos de /3.

  5. Aparecen nodos en /3 y 2/3.

  6. La función envolvente será E3(x) = A3 |sen(3x)|.

Cuarto armónico

  1. Corresponde al cuádruple de frecuencia que el sonido fundamental: 1760 Hz.

  2. La cuerda vibra el cuádruple de rápido que en el primer armónico, es decir, 4/3 más deprisa que en el armónico anterior.

  3. Una vez fijado un valor t0 para el tiempo, la función será a4(x) = A4 sen(4t0) sen(4x), cuya gráfica es una sinusoidal.

  4. La cuerda aparecerá en su posición horizontal de reposo cuando sen(4t) = 0, es decir, para valores del tiempo t múltiplos de /4.

  5. Aparecen nodos en /4, /2 y 3/4.

  6. La función envolvente será E4(x) = A4 |sen(4x)|.

Quinto armónico

  1. Corresponde al quíntuple de frecuencia que el sonido fundamental: 2200 Hz.

  2. La cuerda vibra el quíntuple de rápido que en el primer armónico, es decir, 5/4 más deprisa que en el armónico anterior.

  3. Una vez fijado un valor t0 para el tiempo, la función será a5(x) = A5 sen(5t0) sen(5x), cuya gráfica es una sinusoidal.

  4. La cuerda aparecerá en su posición horizontal de reposo cuando sen(5t) = 0, es decir, para valores del tiempo t múltiplos de /5.

  5. Aparecen nodos en /5, 2/5, 3/5 y 4/5.

  6. La función envolvente será E5(x) = A5 |sen(5x)|.

Sumando armónicos

  1. Para que la suma de todos los armónicos genere una función de onda con forma de sierra, deben colocarse todas las amplitudes al máximo. A partir de esta posición, para que aparezca una forma de trapecios (onda cuadrada) deben anularse las amplitudes pares y disminuir ligeramente el 3º armónico.