Soluciones

1. Como (3,3) cumple la ecuación de la recta tangente en (1,0), sabemos que 2a + b = 3/2
   Como (3,3) cumple la ecuación de la recta tangente en (5,2), sabemos que 10a + b = -1/2
   Como (1,0) es un punto de la gráfica, sabemos que a + b + c = 0
   De todo ello, se deduce que la ecuación de la función es g(x) = -1/4 x² + 2x -7/4

2. Tomemos un punto P en la curva, entre A y B. La tangente por P cortará a esos segmentos en los puntos P₁ y P₂, respectivamente.
   
   La igualdad |u_P|:|u| = |v_P|:|v| significa que cada punto P₁ y P₂ avanza con velocidad proporcional a la longitud de su segmento (o el módulo del vector correspondiente), por lo que el punto P₁ recorre su segmento en el mismo tiempo en que P₂ recorre el suyo.
   
   Si reorganizamos la igualdad como |u_P|:|v_P| = |u|:|v| significa, equivalentemente, que la proporción entre las velocidades de avance de P₁ y P₂ es la misma que entre las longitudes de los segmentos.

3. Tenemos que Q₀ = A + t w. Como w es el vector con origen en A y extremo en B, al escalar ese vector mediante el factor t pasamos sin variar de dirección (la indicada por ese vector) del punto A (t=0) al punto B (t=1).

4. Las ecuaciones son Q₁ = A + t u, Q₂ = C + t v.

5. La ecuación es Q = Q₁ + t (Q₂ - Q₁) = A + t u + t (u + t v - t u) =  A + 2 t u + t² (v - u), que es una ecuación cuadrática.

6. Basta hacer clic con esa herramienta en los puntos A, B y C, en este orden.

7. Para construir esa curva de Bézier de grado 3, se construyen los tres puntos generadores (blancos en la aplicación) de las curvas de Bézier de grado 1 en AD, DC y CB. Repetimos la operación sucesivamente, obteniendo los dos puntos verdes, que describen curvas de Bézier cuadráticas, y finalmente un único punto (naranja) que genera la curva de Bézier cúbica.