Un binomio es una suma o una diferencia de dos números (o expresiones numéricas). Aplicando algunas propiedades básicas de los números, es muy fácil demostrar que:

"El cuadrado de la suma es la suma de los cuadrados MÁS el doble del producto"

"El cuadrado de la diferencia es la suma de los cuadrados MENOS el doble del producto"

Llamando a esos números "a" y "b", una demostración sería:  (a + b) (a + b) = aa + ab + ba + bb = a² + 2ab + b²

                                         y la otra demostración sería:  (a - b) (a - b) = aa - ab - ba + bb = a² - 2ab + b²

Observa que la segunda identidad puede verse como un caso particular de la primera, cuando "b" sea un número negativo:  (a - b)² =  (a + (-b))² =  a² + 2a(-b) + b² = a² - 2ab + b²

Ahora vamos a comprobar geométricamente estas dos identidades notables.

Preguntas

1. Mueve los puntos para variar la longitud de "a" y de "b", de forma que el punto rojo se encuentre siempre a la derecha del punto blanco. La figura completa es siempre un cuadrado. ¿Por qué? ¿Cuánto mide cada lado de ese cuadrado?

2. Considerando el lado de ese cuadrado (tu respuesta a la pregunta anterior), ¿cuál será entonces el área de la figura completa? Anota en tu cuaderno: "El área total es .......... cm²".

3. Ahora fíjate en las 3 partes en que está dividida la figura. Expresa la suma de sus tres áreas de la forma más reducida que puedas, sin usar paréntesis. Anota en tu cuaderno: "El área total también es la suma .................................... cm²".

4. ¿Qué puedes deducir de las respuestas a las dos preguntas anteriores?

5. Ahora mueve el punto rojo hasta que quede a la izquierda del punto blanco, de forma que entonces "b" le resta su longitud al segmento "a". ¿Cuánto mide cada lado del cuadrado violeta? Anota en tu cuaderno: "El área del cuadrado violeta es .......... cm²".

6. Observa que el área violeta también es igual al cuadrado completo, de lado "a" (y por tanto de área a²), menos la parte recortada roja y verde. ¿Cuál es el área de la parte recortada? Según esto, "el área del cuadrado violeta es también ......................... cm²".

7. ¿Qué puedes deducir de las respuestas a las dos preguntas anteriores?