Durante la Edad Media fue muy popular un método para multiplicar dos números entre 5 y 10 con ayuda de los dedos. Con este truco, no necesitaban memorizar la tabla de multiplicar completa del 5, del 6, del 7, del 8, del 9 y del 10.

Con este método solo se necesitaba memorizar la tabla completa del 1, del 2, del 3 y del 4, así como el cuadrado de 5. Por ejemplo, sabían de memoria cuál era el resultado de 4x7 (o 7x4), pero para calcular 5x8 (u 8x5) usaban los dedos.

Tu objetivo es descubrir cómo y por qué funciona ese método.

Preguntas

1. Haz clic en la casilla B2, escribe el número 6 y pulsa Intro. Haz lo mismo con los números 7, 8, 9 y 10. ¿Cuántos dedos aparecen abiertos en la mano izquierda en todos los casos? ¿Y cerrados?

2. Haz clic en la casilla B3, escribe el número 6 y pulsa Intro. Haz lo mismo con los números 7, 8, 9 y 10. ¿Cuántos dedos aparecen abiertos en la mano derecha en todos los casos?  ¿Y cerrados?

3. Vamos a multiplicar 8x6 tal como lo hacían en la Edad Media. Para ellos, cada dedo extendido representa una decena y cada dedo cerrado una unidad. Lo hacían así: sumaban los dedos extendidos (4 decenas) y multiplicaban los dedos cerrados en cada mano (2x4=8 unidades). El resultado es la suma de ambas cantidades: 4 decenas más 8 unidades, es decir, 48. Intenta realizar otras multiplicaciones siguiendo el mismo sistema: 7x7, 9x8, 7x6, 8x7, 9x5, 10x6...

4. Observa que en cualquier caso estamos multiplicando un factor (5+a) por otro (5+b). Realiza este producto en tu cuaderno, quitando los paréntesis (es decir, aplicando la propiedad distributiva: cada sumando de un factor debe multiplicar a los dos sumandos del otro factor). Necesitaremos este resultado más adelante.

5. Comprueba que el producto que acabas de hacer, equivalente a (5+a)(5+b), "funciona" para algunos valores particulares de "a" y de "b". Por ejemplo, al poner en tu resultado en vez de "a" el valor 2 y en vez de  "b" el  valor 3, ¿obtienes el valor total correcto correspondiente a (5+2)(5+3)=7x8=56?

6. Ahora seguiremos el método de los dedos. Si multiplicamos (5+a)(5+b), ¿qué valor aparece en la celda D2? ¿Y en la celda D3? No olvides que la suma de ambos valores hay que multiplicarla por 10 (pues los dedos extendidos eran interpretados como decenas). Entonces, dependiendo de "a" y "b", ¿a qué expresión equivale siempre el valor de la casilla D4?

7. Después añadimos el producto de los dedos cerrados. Al multiplicar (5+a)(5+b), ¿qué valor aparece en la celda F2? ¿Y en la celda F3? Entonces, dependiendo de "a" y "b", ¿a qué expresión equivale siempre el valor de la casilla F4?

8. Suma las expresiones que has obtenido como respuestas a las dos preguntas anteriores y compara esa suma con la respuesta a la pregunta 4. ¿Son equivalentes?