Aplicando algunas propiedades básicas de los números, es muy fácil demostrar que:

"suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".

Es decir, que el resultado de multiplicar la suma de dos números por su diferencia es el mismo que si restamos los cuadrados de ambos números.

Llamando a esos números "a" y "b", una demostración sería:  (a + b) (a - b) = a a - a b + b a - b b = a² - b²

Ahora vamos a comprobar geométricamente esa misma identidad notable:  (a + b) (a - b) =  a² - b²

Preguntas

1. Al iniciar la aplicación aparece un rectángulo formado por dos trapecios iguales. ¿Qué dimensiones tiene el rectángulo?

2. ¿Cuánto mide el área del rectángulo? ¿Y el área total de los dos trapecios? Anota el resultado en tu cuaderno completando la frase: "El área total de los dos trapecios es de ........ cm²."

3. Puedes modificar la forma del rectángulo moviendo el punto verde. ¿Qué le sucede a la longitud "a" y a la longitud "b" al variar de posición ese punto?

4. ¿Permite la aplicación que "b" pueda ser mayor que "a"? ¿Por qué crees que sucede eso?

5. ¿Puede "b" valer 0? ¿Cuánto mide el área del rectángulo en ese caso especial?

6. Reinicia la aplicación (). Mueve ahora el punto naranja hasta que aparezca un cuadrado gris. ¿Qué área tiene este cuadrado gris? Anótala en tu cuaderno así: "El área del cuadrado gris es de ........ cm²."

7. Toda la figura es ahora un gran cuadrado. ¿Cuál es su área? Anótala en tu cuaderno así: "El área del cuadrado grande es de ........ cm²."

8. Teniendo en cuenta las dos respuestas anteriores, ¿cuánto vale entonces el área total de los trapecios dentro de ese cuadrado grande? Completa la frase: "El área total de los dos trapecios es de ........ cm²."

9. Compara ahora los textos anotados como respuesta a las preguntas 2 y 8. ¿Qué se deduce?

10. Ahora intenta ver la igualdad "al revés". Es decir:   a² - b² = (a + b) (a - b)
    
    Para ello, comienza ahora en el cuadrado grande, correspondiente al 1º miembro de la ecuación:  a² - b² y mueve a distintas posiciones el punto verde, observando lo que pasa. Después, mueve el punto naranja para volver al 2º miembro de la ecuación, es decir, al rectángulo de área (a + b) (a - b).
    
    Observa que cualquier identidad funciona siempre en los dos sentidos, lo cual puede sernos muy útil. En este caso, por ejemplo, puede servirnos para quitar rápidamente los paréntesis de (a + b) (a - b), pero también puede servirnos para factorizar rápidamente a² - b² como producto de (a+b) por (a-b).
    
    Por ejemplo, si nos interesa resolver la ecuación (x - 2) (x + 2) = 45, quitaremos los paréntesis, pero si nos interesa simplificar (x² - 4)/(x-2) entonces descompondremos (x² - 4) como (x - 2) (x + 2) y simplificaremos. Todo depende de lo que nos interese hacer en cada momento.