El suelo de una pequeña plaza rectangular está formado por filas de losas cuadradas de idénticas dimensiones. Hay n filas y en cada fila hay m losas. Un día, una hormiga atraviesa en línea recta la plaza, siguiendo una diagonal. ¿Cuántas losas atraviesa?

Observa que no se concreta cuáles son las dimensiones de la plaza. Por ello tendremos que encontrar un procedimiento general para contar el número total de losas que atraviesa la hormiga, a partir de las dimensiones de la plaza (el número n de filas y el número m de losas que hay en cada fila).

Los deslizadores te permiten cambiar las dimensiones de la cuadrícula. Con ellos puedes cambiar el número de filas, n, y también el número de losas de cada fila, m. Los cuadrados atravesados son más fáciles de contar si mantienes activada la  casilla "Ver esquema".

Preguntas

1. Vamos a empezar estudiando algunos casos particulares y analizando los datos que vamos recogiendo, a ver si encontramos algún tipo de regularidad que nos permita realizar alguna conjetura. Primero, cuenta cuántas losas atraviesa la hormiga si las dimensiones de la plaza son m=2 y n=1.

2. Haz lo mismo con plazas de las siguientes dimensiones:

m=3 y n=2

m=5 y n=2

m=5 y n=3

m=6 y n=5

Con los datos que vas obteniendo completa la siguiente tabla:

3. ¿Observas alguna regularidad en la tabla anterior? ¿Sabrías calcular, a partir de lo que ves en la tabla, cuántas losas atravesaría la hormiga en una plaza de dimensiones m=5 y n=4? Comprueba tu conjetura en la aplicación.

4. Si no has encontrado ninguna regularidad en la tabla, añade una nueva columna y escribe en ella la suma m+n:

¿Encuentras ahora alguna relación entre la suma m+n y el número de losas que atraviesa la hormiga? ¿Cuántas losas atraviesa la hormiga en una plaza de dimensiones m=4 y n=3? Comprueba tu conjetura en la aplicación.

5. ¿Cuántas losas tiene que atravesar la hormiga en una plaza de dimensiones m=6 y n=3? ¿Se mantiene tu conjetura, es decir, se cumple la misma relación que en los casos que has estudiado antes?

6. Estudia ahora los siguientes casos:

m=4 y n=2

m=6 y n=3

m=8 y n=4

m=6 y n=4

m=9 y n=6

Con los datos que obtienes, ¿observas alguna regularidad? Fíjate en la cuadrícula que se forma en cada caso y compárala con otras cuadrículas que hayas estudiado antes: ¿encuentras alguna relación entre la cuadrícula de dimensiones 4x2 y la de 2x1? ¿Y entre la de 6x3 y la de 2x1? ¿Tiene eso algo que ver con los resultados que has encontrado? ¿Podrías decir cuántas losas tiene que atravesar la hormiga si la plaza tiene de dimensiones m=10 y n=5? Comprueba tu resultado con la aplicación.

7. Con los datos que has obtenido en el apartado anterior completa la siguiente tabla, en la que añadimos la suma de las dimensiones y su máximo común divisor:

8. Trata ahora de encontrar una fórmula que te permita calcular el número de losas que atraviesa la hormiga en una plaza de dimensiones formada por n filas de m losas cada una. ¿Sirve esta fórmula también para los casos que has estudiado en la pregunta 1?

9. Finalmente nos hemos enterado de que la plaza tiene 36 filas de 30 losas cada una. ¿Cuántas losas atraviesa la hormiga cuando la cruza? ¿Por cuántos vértices pasa durante su travesía, contando el de salida y el de llegada? Haz tus cálculos y, a continuación, comprueba tus resultados con la aplicación.

10. Elabora un informe sobre la investigación que has llevado a cabo, en el que debes incluir el enunciado del problema, el proceso que has seguido y los resultados obtenidos.