En la antigüedad la Aritmética y la Geometría iban de la mano. En sus investigaciones matemáticas, Pitágoras y sus discípulos utilizaban piedrecillas (en latín calculus) o marcas que disponían según determinadas formas geométricas. Así, podían asociar números y formas, cambiar estas y observar lo que ocurría con los respectivos números, relacionar unas formas con otras, unos números con otros, etc. En definitiva, trabajaban con la forma y el número a la vez. Los resultados fueron extraordinarios y permitieron descubrir importantes teoremas y relaciones. A lo largo de la historia ilustres matemáticos como Gauss o Euler también dedicaron su tiempo al estudio de los números figurados.

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En esta aplicación vamos a estudiar algunos tipos de números figurados, buscaremos una regla general que nos permita generarlos y también trataremos de descubrir algunas de las múltiples relaciones que se pueden establecer entre estos números.

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Preguntas

1. Selecciona Número rectangular en la parte inferior de la pantalla. Mueve el deslizador superior y observa la formación de los números rectangulares. Hazlo ahora más despacio y completa la segunda columna (Rectangular) de la tabla siguiente:

2. Si tomamos como dimensiones de cada uno de los rectángulos el número de círculos que lo forman, a lo largo y a lo ancho, ¿qué dimensiones tiene el rectángulo que corresponde al número rectangular 1º? ¿Y el rectángulo del número rectangular 2º? ¿Y el del 3º? ¿Y el del 10º? ¿Y el del número rectangular 100º? ¿Cómo puedes calcular el número rectangular a partir de las dimensiones del rectángulo correspondiente?

3. ¿Qué dimensiones tendrá el rectángulo que ocupa el lugar n? ¿Cuántos círculos lo forman? ¿Qué fórmula podemos utilizar para calcular el número rectangular que ocupa el lugar n? Completa:

R(n) = ........

4. Desactiva la casilla de Número rectangular y activa la de Número triangular. Mueve el deslizador superior y observa la formación de los números triangulares. Muévelo ahora más despacio y completa la tercera columna (Triangular) de la tabla de la pregunta 1.

5. Compara los números de la columna 2 y de la columna 3. ¿Qué relación encuentras?

6. Vamos a buscar una interpretación geométrica a la relación anterior. Activa simultáneamente las casillas Número rectangular y Número triangular. Mueve el deslizador superior. ¿Se corresponde lo que observas con la relación que has descubierto en la tabla?

7. Teniendo en cuenta la relación anterior, ¿qué fórmula podemos utilizar para calcular el número triangular n? Completa:

T(n) = ........

8. Otra forma de calcular el número triangular consiste en sumar el número de círculos de cada una de las filas que lo forman. Si observas el número triangular de arriba a abajo, ¿qué suma tendrías que hacer para hallar el número triangular 2? ¿Y el 3? ¿Y el 4? ¿Y el 10? ¿Y el 100?

9. ¿Cómo podemos calcular la suma de los n primeros números naturales? Completa:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + .... + n = ........

10. Haz clic en el botón para volver a las condiciones iniciales. Activa la casilla Número cuadrado. Mueve el deslizador superior y observa la formación de los números cuadrados. Muévelo ahora más despacio y completa la cuarta columna (Cuadrado) de la tabla de la pregunta 1.

11. Busca una fórmula para obtener el número cuadrado de orden n. Completa:

C(n) = ........

12. ¿Es cierta la relación: R(n) = C(n) + n? Compruébalo en la tabla y también gráficamente. (Puedes activar simultáneamente las casillas Número rectangular y Número cuadrado).

13. Haz clic en el botón para volver a las condiciones iniciales y activa simultáneamente las casillas Número triangular y Número cuadrado. Mueve el deslizador de la parte superior izquierda. ¿Observas alguna relación entre los números cuadrados y los triangulares? Comprueba en la tabla la relación que has encontrado. ¿Cómo la escribirías algebraicamente?

14. Haz clic en el botón para volver a las condiciones iniciales y activa la casilla Número pentagonal. Mueve el deslizador superior y observa la formación de los números pentagonales. Muévelo ahora más despacio y completa la quinta columna (Pentagonal) de la tabla de la pregunta 1.

15. En la pregunta 13 hemos encontrado una forma de expresar un número cuadrado como suma de dos números triangulares. ¿Podremos expresar también un número pentagonal como suma de números triangulares? Observa la figura siguiente y trata de interpretar en la tabla de valores lo que se ha representado geométricamente.

16. Busca una fórmula para obtener el número pentagonal que ocupa el lugar n a partir de alguna de las relaciones que has encontrado en el apartado anterior o de otras relaciones que puedas descubrir en la tabla. Completa:

P(n) = ........

17. Haz clic en el botón para volver a las condiciones iniciales y activa la casilla Número hexagonal. Mueve el deslizador superior y observa la formación de los números hexagonales. Muévelo ahora más despacio y completa la sexta columna (Hexagonal) de la tabla de la pregunta 1.

18. Analiza la tabla. Busca alguna relación entre la columna de los números triangulares y la de los números hexagonales. ¿Cómo la expresarías? ¿Qué interpretación geométrica tendría? Haz un dibujo esquemático sobre un número hexagonal de orden 5.

19. Busca una fórmula para obtener el número hexagonal que ocupa el lugar n a partir de alguna de las relaciones que has encontrado en el apartado anterior o de otras relaciones que puedas descubrir en la tabla. Completa:

    H(n) = ........

20. Busca otras relaciones en la tabla. Escríbelas algebraicamente y haz una interpretación geométrica de cada una de ellas.

21. Haz clic en el botón para volver a las condiciones iniciales y activa la casilla Otros poligonales. Ahora dispones de otro deslizador en la parte inferior de la pantalla con el que puedes elegir el número de lados del polígono, de modo que combinando este deslizador con el que ya has utilizado antes puedes generar todos los números poligonales hasta el orden 12. Añade algunas columnas más en tu tabla para los números poligonales de orden 7, 8, ... Completa las nuevas columnas de la tabla ayudándote de los deslizadores. Puedes ir comprobando tus resultados activando la casilla Mostrar resultado.
     
    En apartados anteriores has podido expresar los números cuadrados, pentagonales y hexagonales en función de números triangulares. Los números triangulares, por tanto, son una buena base para calcular esos otros números poligonales. ¿Podremos expresar cualquier número poligonal en función, únicamente, de números triangulares? Contestar a esta pregunta será ahora tu objetivo: busca una fórmula que te permita expresar un número poligonal como combinación de números triangulares. Más concretamente se trata de buscar una fórmula que permita calcular el número poligonal que ocupa el lugar n, en función de números triangulares y del número de lados p del polígono.

22. Un último reto: en el apartado anterior has podido expresar un número poligonal en función de números triangulares. ¿Serás capaz de expresar ahora esa fórmula en función del número de lados p del polígono y del lugar n que ocupa el número poligonal correspondiente?