¿Cuántos rectángulos podríamos formar sobre los cuadritos de la cuadrícula? Hay dibujados unos pocos, pero, ¿serías capaz de contarlos todos, uno a uno?

Contarlos uno a uno resultaría una tarea lenta y aburrida. Por eso vamos a hacer algo mucho más interesante: buscar un método general que nos permita calcular no solamente cuántos rectángulos hay en esa cuadrícula, sino en una cuadrícula cualquiera.

Se trata por tanto de encontrar una fórmula que nos permita calcular el número total de rectángulos a partir de las dimensiones de la cuadrícula (el número de cuadritos que tiene a lo largo y a lo ancho).

Los deslizadores te permiten cambiar las dimensiones de la cuadrícula. También tienes dos casillas que te permiten ver el número total de rectángulos (los cuadrados también se consideran rectángulos), para los tamaños que has elegido, y el recuento sistemático de los rectángulos.

Utiliza los resultados que se muestran para contrastar tu propio recuento. Ten en cuenta que de lo que se trata es de encontrar un método general, una fórmula, y esa no la proporciona la aplicación.

Preguntas

1. Estudia algunos casos particulares más sencillos. Empieza por lo más fácil: ¿cuántos rectángulos se pueden formar en una cuadrícula de 1x1? ¿Y si fuera de 2x1? ¿Y en una de 3x1? ¿Y en la de 4x1? Haz tus propios cálculos y compáralos con los que obtienes en la aplicación.

2. Trata ahora de encontrar una fórmula que te permita calcular el número de rectángulos de una cuadrícula mx1 a partir del valor de m.

3. Estudia ahora cuadrículas de anchura 2 y longitud variable. ¿Cuántos rectángulos podemos formar en una cuadrícula de 2x2? ¿Y en una de 3x2? ¿Y en la de 4x2?

4. Cubre la tabla de doble entrada, en la que las cabeceras son las dimensiones de la cuadrícula, y coloca en los lugares de la tabla que corresponden los datos que has obtenido hasta ahora.

5. Analiza la tabla: trata de encontrar alguna regla, alguna regularidad en ella. ¿Sabrías seguir completándola? Inténtalo: haz tu propia conjetura.

6. Comprueba tu conjetura con la aplicación. ¿Es el resultado que habías anticipado? Si la respuesta es afirmativa, enhorabuena, estás ya cerca de la fórmula. Si no era el resultado esperado, vuelve a revisar la tabla y haz una nueva conjetura. Repite el proceso hasta que tus resultados queden contrastados con los que te confirma la aplicación.

7. Intenta traducir al álgebra el procedimiento que has utilizado para encontrar esos valores, ¿sabrías encontrar ahora una fórmula general para ir completando la tabla?

8. Pon a prueba tu fórmula: haz algunos cálculos utilizando tu fórmula y comprueba los resultados en la aplicación.

9. Elabora un informe sobre la investigación que has realizado, en el que debe quedar reflejado el enunciado del problema, el proceso seguido durante la investigación y los resultados obtenidos.