Si la razón (positiva) de una progresión geométrica es menor que la unidad, los sucesivos términos van reduciendo su valor rápidamente. Tanto, que incluso sumándolos todos (sí, los infinitos términos) la suma obtenida no es infinita, sino un número finito.

En esta actividad podrás comprobar visualmente este hecho para valores de la razón entre 0.1 y 0.5 (para valores entre 0.5 y 1 la suma también es finita, pero la visualización no es tan sencilla).

Preguntas

1. Al iniciarse, la aplicación muestra que el valor elegido para el primer término es a₁ = 40 y el valor de la razón es r = 0.4. ¿Qué valor tendrá entonces el segundo término? ¿Y el tercero?

2. El círculo C que aparece tiene de área C = a₁/r. En este caso, C = 40/0.4 = 100.
   
   Dentro de C aparece un sector circular S que tiene área S = a₁/(1-r). En este caso, S = 40/0.6 = 200/3.
   
   Suma los cinco primeros términos de esa progresión y compara el valor obtenido con el valor de S. ¿Hay mucha diferencia?
   
   En esta actividad comprobaremos visualmente que la suma de todos los términos de esta progresión geométrica (40 + 16 + 6.4 +...) es precisamente S.

3. En el deslizador inferior elige 1 sumando, es decir a₁ = 40. Aparece otro círculo amarillo, concéntrico al anterior pero menor, de área r veces la del círculo anterior. ¿Por qué ese área vale lo mismo que a₁? ¿Por qué el área verde restante, que queda sin cubrir por el círculo amarillo, vale también lo mismo que a₁?

4. Ahora repetimos el proceso partiendo del último círculo amarillo. En el deslizador inferior elige 2 sumandos, es decir a₁ + a₂ = 56. Aparece otro círculo amarillo, concéntrico al anterior pero menor, de área r veces la del círculo anterior, es decir, r² veces la del círculo C. ¿Por qué ese área vale lo mismo que a₂? ¿Por qué el área verde restante, que queda sin cubrir por el círculo amarillo, vale también lo mismo que a₂?

5. Repetimos el proceso partiendo del último círculo amarillo. En el deslizador inferior elige 3 sumandos, es decir a₁ + a₂ + a₃ = 56. Aparece otro círculo amarillo, concéntrico al anterior pero menor, de área r veces la del círculo anterior, es decir, r³ veces la del círculo C. ¿Por qué ese área vale lo mismo que a₃? ¿Por qué el área verde restante, que queda sin cubrir por el círculo amarillo, vale también lo mismo que a₃?

6. Sigue avanzando el deslizador inferior hasta su extremo derecho. Aunque se trata de un proceso infinito, la suma total no es infinita, pues siempre debemos sumar cantidades cada vez más pequeñas, que se encuentran en el mismo sector circular, hasta completarlo. Por tanto, la suma total a₁ + a₂ + a₃ +... es igual al área de S = 66.666..., como queríamos demostrar.
   
   Observa ese número periódico: 66.666... Está compuesto de seis decenas, seis unidades... ¿Se te ocurre qué otra progresión geométrica nos da el mismo resultado al sumar todos sus términos?
   
   Elige diversos valores para a₁ y para r y comprueba que el proceso seguido es válido para cualquiera de ellos.