En esta actividad vamos a construir la espiral de Teodoro. Comenzaremos construyendo un triángulo rectángulo cuyos catetos miden una unidad. A continuación, por un extremo de la hipotenusa de este primer triángulo trazamos, perpendicularmente a la hipotenusa, un segmento de una unidad de longitud, creando, de ese modo, un nuevo triángulo rectángulo. Sobre la hipotenusa de este nuevo triángulo repetimos el proceso anterior y así sucesivamente. De ese modo los triángulos rectángulos que vamos generando van dando forma a una curiosa espiral, denominada Espiral de Teodoro, que ha desempeñado un importante papel en los inicios de la teoría de los números irracionales. Su creador, Teodoro de Cirene, basándose en el método tradicional pitagórico de reducción al absurdo, probó la irracionalidad de las raíces de los números enteros no cuadrados hasta el 17. En esta actividad vamos a descubrir la relación que tienen los números irracionales con esta espiral y aprovechar sus propiedades para la construcción de segmentos cuya longitud sea la raíz cuadrada de un número natural.

La herramienta Segmento, dados dos puntos te permite construir un segmento, haciendo clic sucesivamente sobre dos puntos, que serán sus extremos. A su vez, la herramienta Espiral de Raíces te ayudará a construir la espiral de Teodoro. Una vez seleccionada la herramienta, haz clic en los dos extremos del segmento de partida: de ese modo se añade un segmento perpendicular de longitud 1 al segmento anterior, por el extremo señalado en segundo lugar, y se traza la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por ambos segmentos. Usa la herramienta Medida exacta para mostrar la longitud exacta de un segmento, haciendo clic sobre sus dos extremos.

Si te equivocas en algún momento, usa los botones de Deshacer y Rehacer o la herramienta Borrar .

Preguntas

1. Construye un segmento horizontal de longitud 1 a partir del punto señalado (tomando como unidad la separación entre las líneas de la cuadrícula, que es 1 cm). Selecciona ahora la herramienta Espiral de raíces y haz clic sobre los extremos del segmento anterior. ¿Cuánto mide el segmento que has construido? ¿Cómo lo has calculado? Comprueba tu resultado utilizando la herramienta Medida exacta .

2. Aplica nuevamente la herramienta Espiral de raíces al último segmento que has construido en el ejercicio anterior. ¿Cuánto mide el segmento que acabas de construir? Compruébalo.

3. Si aplicas la herramienta al último segmento construido, ¿cuánto medirá el nuevo segmento? ¿Por qué? Constrúyelo ahora y comprueba tu resultado.

4. Continúa el proceso hasta que obtengas el segmento de longitud .

5. Utilizando propiedades aritméticas podemos demostrar que (ya que: ). Utiliza las herramientas geométricas de las que dispones para comprobar que el segmento mide justamente el doble que el segmento (Ayuda).

6. Construye una circunferencia que tenga por diámetro el segmento . El segmento es una cuerda de esa circunferencia. ¿Sabrías justificar por qué?

7. Comprueba geométricamente si

8. ¿Cuál de los segmentos de la espiral que has construido mide el doble que ? Compruébalo aritméticamente y geométricamente.

9. ¿Cómo podríamos construir un segmento de longitud cm sin tener que seguir la espiral desde el principio? ¿Y un segmento de longitud cm?

10. Construimos una circunferencia de diámetro AB=7 cm. Con centro en A y radio AD=1 cm construimos una circunferencia que corta a la anterior en el punto E. Con centro en E construimos otra circunferencia del mismo radio, que corta a la primera en el punto F. ¿Es cm la longitud exacta del segmento BE? ¿Es cm la longitud exacta del segmento BF? Justifica tus respuestas.