La sucesión de Fibonacci, descrita por Leonardo de Pisa en su obra Liber Abaci en 1202 para dar solución al conocido como problema de los conejos, se forma tomando los dos primeros términos iguales a 1 y siendo, a partir del tercero, cada término igual a la suma de los dos anteriores:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...

El término general, a partir del tercero, se obtiene mediante la expresión:

a_n = a_n-1 + a_n-2

Tomando dos números enteros p y q vamos a generalizar la definición de la sucesión de Fibonacci, de modo que ahora a partir del tercero cada término quede determinado por:

a_n = p a_n-1 + q a_n-2

Por ejemplo, si p=2 y  q=3 obtendríamos la sucesión generalizada de Fibonacci siguiente:

1, 1, 5, 13, 41, 121, 365, 1093, 3281...

Tanto la sucesión de Fibonacci como las sucesiones generalizadas de Fibonacci tienen una estrecha relación con números metálicos, que vamos a descubrir a continuación.

Preguntas

1. Podemos expresar cualquier potencia de Φ como un número entero más otro número entero por el propio Φ. Veamos las primeras potencias:

Φ² = Φ + 1

Φ³ = Φ Φ² = Φ (Φ + 1) = Φ² + Φ = Φ + 1 + Φ = 2Φ + 1

Φ⁴ = Φ Φ³ = Φ (2Φ + 1) = 2Φ² + Φ = 2 (Φ + 1) + Φ = 2Φ + 2 + Φ=  3Φ + 2

Estudia algunos casos más (Φ⁵, Φ⁶...). Comprueba tus resultados con la aplicación: activa la casilla "Potencias de Φ" y utiliza el deslizador horizontal para variar el exponente de la potencia.

2. Observa los coeficientes que aparecen en la expresión de las potencias. ¿Qué relación encuentras con la sucesión de Fibonacci? Escribe una expresión general para Φⁿ en función de términos de la sucesión de Fibonacci. Compruébala utilizando la aplicación: activa la casilla "Expresión general".

3. Prueba que la sucesión formada por las potencias de Φ:

1, Φ, Φ², Φ³, Φ⁴, Φ⁵, Φ⁶, Φ⁷...

es, a la vez, una progresión geométrica (cada término se obtiene multiplicando el anterior por un mismo número) y una sucesión de Fibonacci (los dos primeros términos son 1 y Φ y a partir del tercero cada término es igual a la suma de los dos anteriores).

4. Haz clic en el botón Reiniciar. Activa la casilla "Sucesión generalizada de Fibonacci". Mueve los deslizadores p y q y observa el cambio en los términos de la sucesión y en su término general.

5. Fija los deslizadores en p=1 y q=1. Halla los cocientes entre cada término de la sucesión y el anterior:

Activa la casilla "Razón entre términos consecutivos" para comprobar tus resultados. Mueve el deslizador vertical para cambiar los términos.

6. ¿Observas alguna tendencia? ¿Encuentras alguna relación con Φ? Activa la casilla "Número metálico" para contrastar tus respuestas.

7. Haz clic en el botón Reiniciar. Activa la casilla "Sucesión generalizada de Fibonacci". Con los deslizadores horizontales fija los valores p=2 y q=1 que corresponden al número de plata. Observa la sucesión generalizada de Fibonacci, para esos valores de p y q. Halla los cocientes entre cada término de la sucesión y el anterior:

Activa la casilla "Razón entre términos consecutivos" para comprobar tus resultados. Mueve el deslizador vertical para cambiar los términos.

8. ¿Observas alguna tendencia? ¿Encuentras alguna relación con el número de plata? Activa la casilla "Número metálico" para contrastar tus respuestas.

9. Fija ahora los valores de p y q correspondientes al número de Níquel y observa la sucesión generalizada de Fibonacci correspondiente a dichos valores. Estudia los cocientes entre cada término y el anterior. ¿Observas alguna tendencia?

10. Repite ahora el estudio para los valores de p y q correspondientes al número de Platino.

11. ¿Qué relación existe entre el número metálico σ_p,q y la sucesión generalizada de Fibonacci de término general a_n = p a_n-1 + q a_n-2?

12. Halla el número metálico con el que está relacionada la sucesión siguiente:

1, 1, 5, 13, 41, 121, 365, 1093, 3281, 9841...