El problema que vamos a abordar es uno de los clásicos en el campo de la probabilidad. Fue propuesto por Georges Louis Leclerc (1708-1788), Conde de Buffon, que fue un célebre naturalista francés, autor de una monumental Historia Natural, una obra divulgativa formada por 44 tomos que recopilaba el conocimiento científico de la época.

El problema básicamente consiste en lo siguiente: si lanzamos una aguja de longitud l sobre un papel plano sobre el que hay trazadas rayas rectas paralelas separadas entre sí una cierta distancia d, ¿cuál es la probabilidad de que la aguja toque alguna de las rayas del papel?

Utilizando el cálculo infinitesimal, el Conde de Buffon calculó dicha probabilidad. Cuando la longitud de la aguja es menor o igual que la distancia entre las líneas paralelas, llegó a un sorprendente resultado que trataremos de descubrir en esta aplicación.

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Preguntas

1. Haz clic sobre el botón para iniciar la animación y observa la posición de la aguja. Para facilitarte la observación cuando toca alguna de las líneas paralelas el semáforo se pone en rojo y en caso contrario en verde. ¿Qué es más probable, que toque alguna de las líneas paralelas o que no toque ninguna?

2. Cambia la longitud de la aguja, utilizando el deslizador azul y activa la animación. ¿De qué forma dependen de la longitud de la aguja las posibilidades de que toque una de las líneas paralelas? No hace falta que hagas ahora cálculos exactos, los haremos más adelante.

3. Haz clic sobre el botón Reinicia y sitúa el deslizador vertical en la posición Simulación. Pulsa para activar la animación automática. Lo que observas son los resultados de series de lanzamientos de 200 agujas iguales, de 1 unidad de longitud, sobre una rayado de rectas paralelas separadas entre sí una distancia de 1 unidad.

4. Pulsa ahora el botón para detener la animación. Fíjate en los resultados que aparecen en color rojo en la parte superior, particularmente en la proporción de agujas que tocan alguna de las líneas de la trama.  ¿Qué proporción de agujas, por término medio, tocan alguna de las líneas paralelas? (Realiza varias veces la simulación, pulsando los botones y , anota el valor de p tras cada una de ellas y, finalmente, halla el valor medio de los valores de p).

5. Modifica el número de fichas. ¿Qué ocurre con la proporción p según vas aumentando el número de fichas, hasta 500? ¿Obtienes resultados similares o hay variaciones importantes? ¿Qué probabilidad asignarías al suceso: "lanzar una aguja sobre el rayado y que toque una de las líneas paralelas"? Si lanzáramos 1000 agujas iguales a las anteriores sobre la trama de rayas paralelas, ¿cuántas tocarían, por término medio, alguna de las líneas de la trama?

6. Vamos a ver ahora con mayor exactitud cómo varía esta probabilidad con la longitud de la aguja. Sitúa el deslizador en l=0,5, realiza varias simulaciones y toma los datos correspondientes, de modo análogo al que has seguido antes. ¿Qué probabilidad asignarías, aproximadamente, al suceso "lanzar una aguja sobre el rayado y que toque una de las líneas paralelas" cuando la longitud es 0,5? Compara este resultado con el obtenido en el caso anterior, cuando la longitud era 1. ¿Encuentras alguna relación?

7. Sitúa ahora el deslizador de la longitud de la aguja en l=0,25, repite varias veces la simulación y toma los datos correspondientes. Compara el resultado obtenido con los obtenidos en los dos ejercicios anteriores. ¿Encuentras alguna relación? Repite el proceso y compara ahora las probabilidades aproximadas cuando l=0,2, l=0,4, l=0,6 y l=0,8. ¿Qué conclusión sacas? ¿Cómo varía la probabilidad de que la aguja toque alguna línea con su longitud? Haz alguna comprobación más, si lo consideras oportuno, para contrastarla.

8. Haz clic sobre el botón Reinicia y sitúa el deslizador vertical en la posición Análisis. Con los deslizadores selecciona n=500 y l=0,5. Observa la banda central graduada, sobre la que aparece un rectángulo marrón cuya longitud es 1/p, es decir, el inverso de la probabilidad que hemos calculado en apartados anteriores. Realiza varias simulaciones (con los botones de la animación o moviendo manualmente el punto azul del simulador), observa cómo varía la longitud de dicho rectángulo, señalada con una flecha, anota en cada caso el valor de 1/p y, finalmente, halla el valor medio de los datos que has tomado. ¿Qué resultado obtienes? ¿Te recuerda algún número conocido? Si no te das cuenta activa la casilla Ayuda.

9. Si 1/p es igual al número que has encontrado, ¿cuál es la probabilidad del suceso "lanzar una aguja de 0,5 unidades de longitud sobre el rayado y que toque una de las líneas paralelas", en función de dicho número?

10. Cambia ahora la longitud de la aguja. Realiza varias simulaciones, analiza los resultados y trata de encontrar una expresión para la probabilidad de que al lanzar la aguja toque alguna de las líneas paralelas del rayado, en función del número que has utilizado en el apartado anterior y de la longitud de la aguja.