Supón que dejamos caer una ficha sobre una cuadrícula. Si observamos la situación en la que queda, podemos distinguir dos posibilidades, según toque o no a alguna de las líneas de la cuadrícula:

¿Qué es más probable, que toque o que no toque alguna de las líneas de la cuadrícula? ¿Cómo varían las posibilidades de que toque alguna de las líneas con el diámetro de la ficha? Si lanzáramos 1000 fichas sobre una retícula cuadriculada, ¿cuántas tocarán, por término medio, alguna de las líneas de la cuadrícula?

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Preguntas

1. Haz clic sobre el botón en la parte inferior de la ventana para iniciar la animación y observa la posición de la ficha: si cae sobre alguna de las líneas de la cuadrícula (el semáforo se pone en rojo) o no (el semáforo se pone en verde). ¿Qué es más probable, que toque alguna de las líneas de la cuadrícula o que no toque ninguna?
   
   Para apreciarlo mejor puedes parar la animación, con el botón , y mover despacio con el ratón la mano de la parte inferior izquierda (actuando con el ratón sobre la ficha).

2. Cambia el diámetro de la ficha, utilizando el deslizador azul. Prueba con valores mayores y menores de 0.5. ¿De qué forma dependen las posibilidades de que una ficha caiga sobre una de las líneas de la cuadrícula de su diámetro?

3. Haz clic sobre el botón Reinicia y sitúa el deslizador vertical en la posición Simulación. Con el botón activa la animación automática. Lo que observas son los resultados de series de lanzamientos de 200 fichas iguales, de 0.5 unidades de diámetro, sobre una retícula cuadrada de lado 1 unidad. Fíjate en los resultados que aparecen en color rojo en la parte superior, particularmente en la proporción de fichas que tocan alguna de las líneas de la cuadrícula.
   
   ¿Qué proporción de fichas, por término medio, tocan alguna de las líneas de la cuadrícula? Si lanzáramos 1000 fichas iguales a las anteriores sobre la misma cuadrícula, ¿cuántas tocarían, por término medio, alguna de las líneas de la cuadrícula?

4. Modifica el número de fichas: prueba con otros valores. ¿Obtienes resultados similares o hay variaciones importantes?

5. Con los deslizadores selecciona 200 fichas de 0.25 unidades de diámetro. Activa nuevamente la animación. ¿Qué proporción de fichas, por término medio, tocan ahora alguna de las líneas de la cuadrícula? Si lanzáramos 1000 fichas iguales a las anteriores sobre la misma cuadrícula, ¿cuántas tocarían, por término medio, alguna de las líneas de la cuadrícula?

6. Con los deslizadores selecciona ahora 200 fichas de 0.75 unidades de diámetro. Activa nuevamente la animación. ¿Qué proporción de fichas, por término medio, tocan ahora alguna de las líneas de la cuadrícula? Si lanzáramos 1000 fichas iguales a las anteriores sobre la misma cuadrícula, ¿cuántas tocarían, por término medio, alguna de las líneas de la cuadrícula?

7. Analiza los resultados de los cuatro ejercicios anteriores. ¿Encuentras alguna relación entre el diámetro de las fichas y la proporción de fichas que toca alguna de las líneas de la cuadrícula?

8. Haz clic sobre el botón Reinicia y sitúa el deslizador vertical en la posición Solución. Ahora puedes mover libremente la ficha sobre la cuadrícula, actuando con el ratón sobre su centro. Activa la casilla "Mostrar rastro": así podrás ver el rastro del centro de la ficha. Mueve la ficha con cuidado por el interior del cuadrado, de modo que no toque ninguna de las líneas de la cuadrícula. Desliza la ficha sobre los lados del cuadrado, sin salirte de los límites del mismo, y colorea también el interior del recinto que delimitas.
   
   Cuando lo hayas completado desactiva la casilla "Mostrar rastro" y aparta la ficha para ver más claramente el resultado. ¿Qué forma tiene la región que has coloreado? ¿Qué parte del cuadrado representa? Si consideramos que el cuadrado tiene un área de 1 unidad cuadrada, ¿cuál es el área de la región central coloreada? ¿Y el área de la parte del cuadrado no coloreada? Si lo estimas necesario haz clic sobre la casilla Ayuda.

9. Si tras el lanzamiento el centro de la ficha cae en la región no coloreada, la ficha tocará necesariamente alguna de las líneas de la cuadrícula. Basándonos en esto podemos calcular la probabilidad de este resultado, ya que será igual a la proporción entre el área no coloreada y el área total. Por tanto, ¿cuál es la probabilidad de que al lanzar una ficha de 0.5 unidades de diámetro sobre una cuadrícula de 1 unidad de lado toque alguna de las líneas de la cuadrícula?

10. Utilizando el mismo razonamiento calcula ahora las probabilidades de que la ficha al caer toque alguna de las líneas de la cuadrícula cuando su diámetro es de 0.25 unidades y cuando sea de 0.75 unidades.

11. Compara los resultados obtenidos en los dos últimos ejercicios con los de la simulación anterior. ¿Qué conclusión puedes sacar?