Si tenemos dos funciones f y g, podemos preguntarnos en qué condiciones serán iguales. Ahora bien, para que lo sean debe cumplirse que f(x) y g(x) tomen siempre el mismo valor... ¡para cualquier valor de x! Por ejemplo, podemos asegurar que las funciones cuadráticas f y g definidas por:

 f(x) = (x + 3)²         g(x) = x² + 6 x + 9

son iguales, ya que cualquiera que sea el valor de x, siempre se cumple que:

(x + 3)² = x² + 6 x + 9

Usando este tipo de igualdades entre funciones, en esta actividad investigaremos qué condiciones deberá cumplir una función para que su gráfica tenga como eje de simetría el eje OY (funciones pares) o como centro de simetría el origen de coordenadas (funciones impares). También veremos cuando dos funciones tienen sus gráficas simétricas respecto a la recta y = x (funciones recíprocas o inversas).

Preguntas

Funciones pares: simetría respecto al eje OY

1. Al iniciarse, la aplicación muestra la gráfica de la función cuadrática f definida por f(x) = a x² + b x + c. Puedes variar los valores de a, b y c con los deslizadores correspondientes. ¿Cuál es la relación existente entre la abscisa x y la ordenada y del punto P situado en la gráfica de f?

2. También se muestra, en línea discontinua, la parábola simétrica respecto al eje OY. Mueve el punto P. Si, para cada valor de x, las coordenadas de P son (x,  a x² + b x + c), ¿cuáles son, en función de x, las coordenadas del punto reflejado P'?

3. ¿Cuál es entonces la ecuación de la función cuadrática g cuya gráfica es simétrica de f respecto al eje OY?

4. Para que f sea simétrica respecto al eje OY (para que sea "par") deberá coincidir con su imagen simétrica, es decir, con g. ¿Para qué valores de a, b y c se consigue hacer coincidir ambas gráficas en todos los puntos? Mueve los deslizadores para averiguarlo.

5. La función f está definida por f(x) = a x² + b x + c, mientras que la función g (comprueba tu respuesta a  la pregunta 3) está definida por g(x) = a x² - b x + c. Para que coincidan, debe cumplirse f(x) = g(x), es decir, 2b x = 0, o más simplemente, b x = 0. De esta ecuación se deduce que b tiene que ser necesariamente cero. ¿Por qué? (Recuerda que se trata de una igualdad entre funciones, no entre valores numéricos concretos, así que debe cumplirse para todos los valores posibles de x.)

6. Observa que la definición de g(x) no es otra que f(-x). Por tanto, ¿qué condición debe cumplir cualquier función para que sea simétrica con respecto al eje OY?

Simetría respecto al eje OX

7. Elige con el deslizador la Simetría 2. Aparecerá, en línea discontinua, la parábola simétrica respecto al eje OX. Mueve el punto P. Si, para cada x, las coordenadas de P son (x,  a x² + b x + c), ¿cuáles son ahora, en función de x, las coordenadas del punto reflejado P'?

8. ¿Cuál es entonces la ecuación de la función cuadrática g cuya gráfica es simétrica de f respecto al eje OX?

9. Para que f sea simétrica respecto al eje OX deberá coincidir con su imagen simétrica, es decir, con g. ¿Cuáles son los únicos valores de a, b y c que consiguen hacer coincidir ambas gráficas en todos los puntos? Mueve los deslizadores para averiguarlo.

10. La función f está definida por f(x) = a x² + b x + c, mientras que la función g (comprueba tu respuesta a  la pregunta 8) está definida por g(x) = -a x² - b x - c. Para que coincidan, debe cumplirse f(x) = g(x), es decir, 2a x² + 2b x + 2c = 0, o más simplemente,  a x² + b x + c = 0. De esta ecuación se deduce que a, b y c tienen que ser necesariamente cero. ¿Por qué?

11. De hecho, la única función, de cualquier tipo, que es simétrica respecto al eje OX es la función constante f(x) = 0, cuya gráfica es precisamente el eje OX. ¿Por qué no puede haber otras funciones simétricas respecto a ese eje?

Funciones impares: simetría respecto al origen de coordenadas

12. Elige con el deslizador la Simetría 3. Aparecerá, en línea discontinua, la parábola simétrica respecto al origen de coordenadas (lo que equivale a una doble reflexión sobre los dos ejes de coordenadas). Mueve el punto P. Si, para cada x, las coordenadas de P son (x,  a x² + b x + c), ¿cuáles son ahora, en función de x, las coordenadas del punto reflejado P'?

13. ¿Cuál es entonces la ecuación de la función cuadrática g cuya gráfica es simétrica de f respecto al origen de coordenadas?

14. Para que f sea simétrica respecto al origen de coordenadas (para que sea "impar") deberá coincidir con su imagen simétrica, es decir, con g. ¿Para qué valores de a, b y c se consigue hacer coincidir ambas gráficas en todos los puntos? Mueve los deslizadores para averiguarlo.

15. La función f está definida por f(x) = a x² + b x + c, mientras que la función g (comprueba tu respuesta a  la pregunta 3) está definida por g(x) = -a x² + b x - c. Para que coincidan, debe cumplirse f(x) = g(x), es decir, 2a x² + 2c = 0, o más simplemente, a x² + c = 0. De esta ecuación se deduce que a y c tienen que ser necesariamente cero. ¿Por qué?

16. Observa que la definición de g(x) no es otra que -f(-x). Por tanto, ¿qué condición debe cumplir cualquier función para que sea simétrica con respecto al origen de coordenadas?

Funciones mutuamente recíprocas o inversas

17. Elige con el deslizador la Simetría 4. Aparecerá, en azul, la parábola simétrica respecto a la recta y = x. Mueve el punto P. Observa, sobre los ejes cartesiano, la relación entre las coordenadas de P y de P'. Si, para cada x, las coordenadas de P son (x,  y), ¿cuáles son ahora, en función de x e y, las coordenadas del punto reflejado P'?

18. ¿La parábola azul es la gráfica de una función? ¿Por qué?

19. Cambiaremos la función de partida para buscar un caso en el que al reflejar la gráfica, es decir, al invertir las variables x y y, la nueva ecuación corresponda de nuevo a otra función. Escribe en la barra de Entrada: f(x) = 2x. Reflejar esta función en la recta y = x equivale a intercambiar las variables x e y, así que la nueva función tendrá por ecuación x = 2y. Despeja y para obtener la forma explícita de esta ecuación.

20. Observa que al intercambiar x e y estamos "deshaciendo" la acción de f. La función f multiplicaba por dos el valor de cada x, mientras que la nueva función divide entre 2 ese valor. Ambas funciones son contrarias, cada una deshace el efecto de la otra. Si aplicamos una y al resultado le aplicamos la otra, obtenemos como resultado el valor original. Es decir, al componer una con otra obtenemos la función identidad y = x. Por eso se llaman funciones recíprocas o inversas. ¿Cuál es la función inversa de f(x) = x/3 - 1?

21. Las funciones lineales f(x) = x, f(x) = -x y las funciones de proporcionalidad inversa f(x) = 1/x, f(x) = -1/x tienen una característica especial común. ¿Cuál es? Compruébalo con la aplicación.