Una cruz es una figura geométrica formada por dos barras o líneas que se cortan perpendicularmente. Constituye uno de los símbolos humanos más antiguos y ha sido utilizada a lo largo de la historia como emblema de muchas culturas y religiones, entre ellas el cristianismo. Cuando los cuatro brazos son iguales, recibe el nombre específico de cruz griega.

Sobre el lado de un cuadrado de 8 cm de lado tomamos un punto a una distancia x de uno de sus vértices y  construimos una cruz griega inscrita en el cuadrado, uno de cuyos vértices es el punto considerado. ¿Cómo varía al área de la cruz al variar el valor de x? ¿Para qué valor obtenemos el área máxima? A continuación trataremos de dar respuesta a estas y otras cuestiones.

Preguntas

1. Mueve el punto amarillo y observa los cambios que experimenta la cruz. ¿Varía el área de la cruz al mover el punto amarillo? Escribe tus primeras impresiones, ya haremos en los siguientes ejercicios un estudio más detallado.

2. Mueve el punto amarillo hasta que x=1. Calcula el área de la cruz (recuerda que el lado del cuadrado mide 8 cm). Comprueba tu resultado activando la casilla "Comprobar".

3. Desactiva la casilla "Comprobar". Mueve el punto amarillo hasta que x=2 y calcula el área de la cruz.

4. Repite el proceso para x=3. ¿Cómo has calculado el área? Explica el procedimiento que has seguido. ¿Te sirve ese procedimiento para un valor cualquiera de x? Activa la casilla Ayuda si lo consideras necesario.

5. Completa la tabla con los valores que ya has calculado y algunos más:

6. Activa las casillas "Tabla de valores y gráfica" y, a continuación, "Tabla de valores" y comprueba tu resultado.

7. Si llamamos x a la distancia, en centímetros, de un vértice de la cruz al vértice más próximo del cuadrado  e y al área de la cruz, medida en centímetros cuadrados, ¿cuál es la expresión algebraica que nos permite calcular y a partir de x? Si lo consideras necesario sigue los siguientes pasos:

   1. Haz clic sobre el botón Reiniciar y Activa la casilla "Ayuda". Como puedes observar, el área de la cruz se puede obtener restando al área del cuadrado las áreas de los triángulos verdes, amarillos y marrones.

   2. ¿Cuál es, en función de x, el área de uno de los triángulos verdes? ¿Cuánto suman las áreas de todos los triángulos verdes?

   3. ¿Cuál es, en función de x, el área de uno de los triángulos amarillos o marrones? ¿Cuánto suman las áreas de todos los triángulos amarillos y marrones?

   4. ¿Cuál es el área de la cruz? Simplifica la expresión todo lo posible.

   5. Comprueba la expresión algebraica con alguno de los pares de valores de la tabla.

8. Representa gráficamente la relación anterior. Una vez construido el gráfico, activa las casillas "Tabla de valores y gráfica" y, a continuación, "Tabla de valores" y "Gráfica" para comprobar tu resultado.

9. Moviendo el punto amarillo puedes apreciar con más detalle la información que proporciona la gráfica. ¿Entre qué valores de x queda definida la función? ¿A qué distancia del vértice del cuadrado hemos de situar el vértice de la cruz para que su área sea máxima? ¿Cuál es el valor máximo que alcanza el área de la cruz? ¿Entre qué valores varía el área de la cruz?

10. ¿Cómo podríamos calcular de una manera más precisa los valores anteriores? Recuerda que has calculado en un ejercicio anterior la expresión algebraica que nos permite calcular el área de la cruz a partir de la distancia de su vértice al vértice más próximo del cuadrado.