En esta actividad partimos de la forma canónica de la ecuación de la función cuadrática y = a (x-x₀)² + y₀, donde el coeficiente "a", en valor absoluto, es el inverso de la longitud del lado recto y su signo indica la orientación de la parábola de vértice V (x₀, y₀).

Si la función cuadrática tiene raíces x₁, x₂ podemos plantear la nueva función de ecuación y = a (x - x₁)(x - x₂), que depende de los tres parámetros "a", x₁, x₂. Ahora bien, para esta nueva función, x₁ y x₂ también son raíces (pues cuando se sustituye x por alguna de ellas el valor de "y" se hace 0). Por lo tanto ambas parábolas pasan por los puntos (x₁, 0) y (x₂, 0), ambas tienen el vértice en la vertical entre ambos puntos y ambas tienen el mismo lado recto y la misma orientación dados por el parámetro "a". Así que ambas tienen que ser la misma parábola y por tanto las dos ecuaciones han de ser equivalentes.

Este modo de escribir la ecuación en función de las raíces (cuando las tenga) se denomina forma factorizada de la ecuación de la función cuadrática: y = a (x - x₁)(x - x₂). Veremos también cómo recuperar la forma canónica a partir de esta forma factorizada, lo que nos permitirá seguir calculando las raíces y las ecuaciones de rectas tangentes.

La aplicación te muestra en todo momento la ecuación de la parábola en las dos formas, canónica y factorizada. Puedes mover el vértice V, los puntos de corte con el eje OX y el punto P de tangencia.

Preguntas

1. Si conocemos la forma factorizada de la ecuación de la función cuadrática y = a (x - x₁)(x - x₂) entonces conocemos sus raíces x₁ y x₂. Observa en la construcción que, debido a la simetría axial de la parábola, la abscisa x0 del vértice tiene que ser la media de las raíces x₁ y x₂ (abscisas de los puntos azules). Es decir, x₀ = (x₁+x₂)/2.
   
   Una vez que se conoce ese valor de x₀, como el vértice es también un punto de la parábola tiene que cumplir la ecuación, así que basta sustituir en la ecuación anterior x por el valor de x₀ para obtener y₀.
   
   Sigue este procedimiento para hallar el vértice y la forma canónica de la ecuación de función cuadrática y = 0.5 (x - 1)(x - 7). Comprueba tu solución con la aplicación.

2. Encuentra la ecuación del recta tangente a esa parábola en el punto de abscisa 6. Compruébala con la aplicación.

Nota: Las funciones cuadráticas nos permiten definir con precisión la raíz cuadrada de un número positivo. Por ejemplo, el número "raíz cuadrada de 2" queda perfectamente definido como "la raíz de la función y = x² - 2 cuya recta tangente en ese punto tiene pendiente positiva", mientras que el número "menos raíz cuadrada de 2" queda perfectamente definido como "la raíz de la función y = x² - 2 cuya recta tangente en ese punto tiene pendiente negativa".

Este tipo de definiciones permite a los programas de cálculo simbólico (como Maxima, Derive, Mathematica, Mapple, Matlab...) y a algunas calculadoras manejar las raíces cuadradas y otros números irracionales con total precisión, sin cometer los errores provocados por aproximaciones decimales.