La parábola es el lugar geométrico formado por todos los puntos que distan lo mismo de un punto fijo (foco) y de una recta (directriz). Es una línea fronteriza entre todos los puntos del plano que están más cerca del foco que de la directriz y todos los puntos del plano que están más cerca de la directriz que del foco.

Para construirla debemos determinar la posición de cada uno de esos puntos. Para ello, imagina un punto P que deba estar en la parábola, es decir, que cumpla que la distancia de P al foco F coincide con la distancia de P a la directriz.

Observa la siguiente construcción. La distancia de P a F está clara, es la longitud del segmento PF, pero, ¿cuál es la distancia de P a la directriz?

La distancia de P a la directriz queda determinada por el punto D, el punto de la directriz más cercano a P (el punto que está frente a P en la directriz, llamado proyección de P en la bisectriz). El punto D es la intersección de la directriz con la perpendicular a ella que pasa por P.

Como PF y PD tienen que medir lo mismo, P tiene que encontrarse en la mediatriz del segmento FD. Esta información es suficiente para que, procediendo en sentido inverso, podamos determinar un punto P de la parábola a partir de un punto D de la directriz.

En la siguiente construcción, usa los botones de la barra de navegación para avanzar o retroceder, observando con atención qué se hace para construir un punto P de la parábola a partir de un punto D cualquiera de la directriz.

Mueve D y comprueba que para cada posición de D en la directriz encontramos un nuevo punto de la parábola. En la anterior construcción se usaron las siguientes herramientas:

• Uso de  Mediatriz: clic sobre el foco F y el punto D sobre la directriz.

• Uso de  Recta Perpendicular: clic sobre el punto D y la recta directriz.

• Uso de  Intersección de Dos Objetos: clic sobre las dos nuevas rectas que hemos trazado.

• Uso de  Lugar Geométrico: clic primero sobre P y después sobre D. Lo que hace esta herramienta es calcular todas las posiciones posibles de P cuando D se desliza por toda la directriz, es decir, para cualquier posición de D en la directriz.

• Uso de  Segmento entre Dos Puntos: clic sobre los puntos P y F, y sobre P y D.

Ahora intenta reproducir en la siguiente ventana la construcción anterior. Cuando finalices, comprueba que es correcta aplicando la herramienta  Distancia desde el punto de la parábola al punto F y desde el punto de la parábola a la recta directriz. Mueve el punto D para comprobar que ambas distancias siempre coinciden.