En esta actividad partimos del conocimiento de que una función cuadrática del tipo y = a x² tiene por gráfica una parábola con vértice en el origen y eje vertical, donde el coeficiente "a", en valor absoluto, es el inverso de la longitud del lado recto y su signo indica la orientación de la parábola.

Una simple traslación del vértice nos permitirá ahora generalizar la función cuadrática obteniendo la forma canónica de su ecuación: y = a (x-x₀)² + y₀.

De esta forma, la función cuadrática queda determinada por tres parámetros: el coeficiente "a", y las coordenadas x₀ e y₀ del vértice.

Preguntas

1. Mueve el foco F. Como puedes observar, su posición cambia la curvatura e incluso la orientación de la parábola. ¿Dónde debe estar F para que el vértice de la parábola sea el punto más alto, es decir, para que sea el punto máximo? ¿Qué relación existe entre F y la longitud del lado recto?

2. ¿Qué relación existe entre F y el coeficiente de x² en la ecuación de la parábola? En función de ese coeficiente "a", ¿cuáles son las coordenadas de F?

3. Haz clic en el botón Reiniciar. Mueve ahora el vértice V, aproximadamente 1.5 unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia arriba (para favorecer la distinción de las dos parábolas que aparecen). El movimiento que acabas de realizar se llama traslación. Al trasladar el vértice has trasladado también todos los puntos del plano: el vértice V (muévelo), el punto P (muévelo), el foco F (muévelo) y toda la parábola se han desplazado por igual, así que no han variado su posición relativa respecto a unos nuevos ejes de coordenadas centrados en el nuevo vértice V (x₀, y₀) de la parábola.
   
   Considerando las coordenadas (x₀, y₀) del vértice V, ¿cuáles son ahora las coordenadas del foco F?

4. Pero la posición de todos ellos ha variado respecto a los ejes de coordenadas reales. Así que para mantener la relación y = a x² que existía en todos los puntos de la parábola habrá que devolverlos a su anterior origen sumando a sus coordenadas el vector de traslación contrario: (-x₀, -y₀). Observa en la construcción que, efectivamente, la posición del punto P respecto a los nuevos ejes es (x-x₀, y-y₀). La nueva ecuación de la parábola es, entonces: y-y₀ = a (x-x₀)², es decir,  y = a (x-x₀)² + y₀. Esta manera de escribir la ecuación de la función cuadrática se conoce como forma canónica.
   
   Escribe las ecuaciones de las dos parábolas con vértice en (2, 1) cuyos lados rectos miden 4 unidades.

5. ¿Cuál es el vértice de la parábola y =  (x+1)² -3?

6. Una parábola tiene el vértice en V (2, -1) y el foco en F (2, 1). ¿Cuál es el valor de su parámetro p? ¿Cuál es su ecuación?