En esta actividad partimos de la forma canónica de la ecuación de la función cuadrática y = a (x-x₀)² + y₀,  donde el coeficiente "a", en valor absoluto, es el inverso de la longitud del lado recto y su signo indica la orientación de la parábola de vértice V (x₀, y₀).

Desarrollando esa expresión obtendremos la forma general de su ecuación: y = a x² + b x + c. Veremos también cómo recuperar la forma canónica a partir de esta forma general, lo que nos permitirá seguir calculando las raíces y las ecuaciones de rectas tangentes.

La aplicación te muestra en todo momento la ecuación de la parábola en las dos formas, canónica y general. Puedes mover el vértice V, el foco F y el punto P de tangencia.

Preguntas

1. Si desarrollamos la ecuación y = a (x-x₀)² + y₀ obtenemos: y = a x² - 2a x₀ x + a x₀² + y₀.
   
   Esta ecuación se puede escribir brevemente como y = a x² + b x + c. Esta manera de escribir la ecuación de la función cuadrática se conoce como forma general.
   
   Observa en particular que el coeficiente de x es b = -2a x₀. Esta igualdad nos permite calcular el vértice de una parábola (y recuperar así la forma canónica) rápidamente a partir de la forma general, solo hay que sustituir los valores de "a" y "b" y despejar x₀.
   
   Usa esa igualdad para calcular la abscisa x₀ del vértice de la parábola y = 0.25 x² -1.5 x +1.25. Una vez que has hallado ese valor de x₀, como el vértice es también un punto de la parábola tiene que cumplir la ecuación, así que basta sustituir en la ecuación anterior x por el valor de x₀ para obtener y₀. ¿Cuál es entonces el vértice (x₀, y₀) de esa parábola?

2. Escribe la ecuación de la parábola anterior en forma canónica. Comprueba tu ecuación colocando con la aplicación el vértice V y el foco F en las posiciones correspondientes.

3. Encuentra las raíces de esa función cuadrática y los puntos de corte con los ejes. Comprueba esos puntos con la aplicación.

4. Halla las soluciones de la ecuación 3x² + 12x +9 = 0.

5. Encuentra la ecuación de la recta tangente a esa parábola en el punto P = (7, 3). Compruébala con la aplicación.