En navegación aérea se conoce como punto de no retorno a aquel punto en un vuelo en el que, debido al consumo de combustible, un avión ya no es capaz de volver a su aeropuerto de origen. Después de pasar el punto de no retorno, el avión no tiene más opción que seguir a algún otro destino. Por ello al alcanzar el punto de no retorno se adquiere un compromiso muy importante. Si se ha de regresar al aeropuerto de partida, el punto de no retorno determinará la máxima distancia a la que nos podemos alejar de él.

Imagina que pilotas un pequeño avión con el que puedes volar a una velocidad de 250 km/h en aire tranquilo. Sin embargo, tras despegar te das cuenta de que vuelas empujado por un viento de cola de 50 km/h. Pero claro, en el viaje de vuelta el viento soplará en sentido contrario a la marcha, por lo que tu velocidad se reducirá. En estas condiciones, si tu avión tiene una autonomía de 4 horas de vuelo, ¿cuál es el punto de no retorno, es decir, cuál es la máxima distancia a la que puedes volar desde el aeropuerto y estar seguro de que tienes combustible suficiente para hacer el viaje de regreso? ¿En qué momento debes regresar al aeropuerto de partida?

Vamos a investigar cómo depende el punto de no retorno de la velocidad del avión, de su autonomía de vuelo y de la velocidad del viento. Para simplificar supondremos que tanto el avión como el viento mantienen su velocidad y dirección constantes en todo el vuelo.

Preguntas

1. Si tu avión vuela a 250 km/h, su autonomía es de 4 horas y el viento está en calma, ¿cuál sería el punto de no retorno (en adelante PNR)? ¿Al cabo de cuánto tiempo debes regresar al aeropuerto?

2. Si ahora tu avión en el viaje de ida es empujado por un viento de cola de 50 km/h, ¿cuál es la velocidad real a la que vuela (velocidad con respecto al suelo)? Dibuja una gráfica que muestre cómo varía la distancia desde el aeropuerto con el tiempo, durante el viaje de ida. Comprueba tu resultado haciendo clic sobre la casilla "Gráfica ida". ¿Cuál es la expresión algebraica que nos da la distancia al aeropuerto en función del tiempo en el viaje de ida?

3. ¿A qué velocidad real volará el avión en el viaje de vuelta? Dibuja una gráfica que muestre cómo variará la distancia hasta el aeropuerto con el tiempo, en el viaje de vuelta, suponiendo que llega de regreso al aeropuerto al cabo de 4 horas. Comprueba tu resultado haciendo clic sobre la casilla "Gráfica vuelta". ¿Cuál es la expresión algebraica que nos da la distancia al aeropuerto en función del tiempo en el viaje de vuelta?

4. Utilizando las dos gráficas anteriores, ¿cómo puedes determinar el PNR? ¿Cuál es la máxima distancia a la que puedes volar desde el aeropuerto y estar seguro de que tienes combustible suficiente para hacer el viaje de regreso? ¿En qué momento debes regresar al aeropuerto de partida? Comprueba operando con las expresiones algebraicas el resultado que has obtenido gráficamente.

5. Mantén activadas las casillas "Gráfica ida" y "Gráfica vuelta" y activa ahora la casilla "Intersección". Mueve el deslizador "Velocidad del viento". ¿Cambia el PNR cuando varía la velocidad del viento? En caso afirmativo, ¿qué curva describe el PNR cuando variamos la velocidad del viento? Haz clic en la casilla "Activa rastro" y mueve el deslizador "Velocidad del viento". ¿Se corresponde con lo que suponías?

6. El deslizador velocidad del viento toma valores positivos y negativos. ¿Qué significado tienen los valores negativos?

7. Borra el rastro, moviendo la goma, desactiva la casilla "Activa rastro" y activa la casilla "Gráfica PNR". Ahora modifica la velocidad del avión, utilizando el deslizador correspondiente, y observa la gráfica. ¿Qué es lo que ocurre?

8. Modifica ahora la autonomía de vuelo del avión, utilizando el deslizador correspondiente, y observa el efecto que tienen los cambios en la gráfica.

9. Vamos a tratar de hallar la expresión algebraica de la curva que describen los PNR. Con los deslizadores selecciona nuevamente los valores iniciales (velocidad del avión: 250 km/h; autonomía de vuelo: 4h; velocidad del viento: 50 km/h). Con ayuda del cursor "Velocidad del viento" (con el que puedes mover el punto amarillo) completa la siguiente tabla:

9. Comprueba tu resultado activando la casilla "Tabla de valores".

10. Con tres pares de valores de la tabla anterior puedes encontrar la expresión algebraica que nos da la distancia d del PNR al aeropuerto de partida, en función del tiempo t empleado en el viaje de ida. Una vez que la hayas calculado, utiliza otros pares de valores de la tabla para comprobar tu resultado.

11. ¿Cuál es el PNR cuando el viento está en calma? ¿Con qué punto de la gráfica se corresponde? Si la velocidad del avión es v_a y el tiempo de autonomía t_a, ¿cuál es el PNR con el viento en calma?

12. Supongamos que la velocidad del avión es v_a, la velocidad del viento v y el tiempo de autonomía t_a. Trata de hallar en ese caso general una expresión algebraica que nos permita calcular la distancia d del PNR al aeropuerto de partida, en función del tiempo t empleado en llegar al PNR. Comprueba tu resultado en algunos casos particulares con ayuda de la aplicación.

13. La relación anterior nos permite determinar la distancia del PNR al aeropuerto del que hemos partido, en función del tiempo que empleamos en alcanzar el PNR. Sin embargo el dato del que dispondremos generalmente será la velocidad del viento, por lo que se hace necesario ahora encontrar una expresión algebraica que nos permita calcular el tiempo que tardamos en alcanzar el PNR en función de la velocidad del viento. En el ejercicio 2 ya has calculado la distancia en función del tiempo de viaje cuando la velocidad del viento era de 50 km/h y la del avión de 250 km/h. Vamos a partir de ella para llegar a la expresión que buscamos:

    1. Aplica la expresión que has calculado en el ejercicio 2 a un caso general: la velocidad del avión es v_a, la velocidad del viento v, el tiempo de autonomía t_a, la distancia del PNR al aeropuerto d y el tiempo empleado en alcanzar el PNR es t.

    2. Sustituye la distancia d por la expresión que has calculado en el ejercicio 12, en función del tiempo t y de los demás datos de los que dispones.

    3. Despeja t y simplifica.

    4. Utiliza la aplicación para comprobar tu resultado.

14. Por último vamos a expresar también la distancia del PNR al aeropuerto en función de la velocidad del viento. Vamos a partir de las expresiones que has hallado en los dos ejercicios anteriores:

    1. Escribe la expresión que has encontrado en el ejercicio 12.

    2. Sustituye la variable t por la expresión que te permite calcular t en función de v, que has calculado en el ejercicio 13 y simplifica la expresión que obtienes.

    3. Utiliza la aplicación para comprobar tu resultado.