Cuando proyectamos sobre una pantalla, el área de la imagen proyectada depende de la distancia del proyector a la pantalla: si colocamos el proyector muy cerca, la imagen será muy pequeñita. Por el contrario, si separamos mucho el proyector la imagen a veces incluso se nos sale de la pantalla de proyección.

El área de la imagen proyectada también depende del ángulo de proyección: para una misma distancia, cuanto mayor sea el ángulo de proyección mayor será el área proyectada.

En esta aplicación vamos a analizar estas dependencias en el caso de un proyector que proyecta sobre una gran pantalla una imagen cuadrada. Puedes mover el punto amarillo para desplazar el proyector y acercarlo o alejarlo de la pantalla. También puedes cambiar el ángulo de proyección seleccionando el valor que desees con el deslizador que se encuentra en la parte superior izquierda.

Preguntas

1. Mueve el punto amarillo y observa cómo varía el tamaño de la imagen proyectada. Bajo la imagen puedes leer la longitud del lado del cuadrado proyectado, en metros. ¿Qué ocurre con el área de la imagen proyectada al variar la distancia del proyector a la pantalla? Exprésalo con tus palabras y haz un gráfico aproximado que describa la situación (no es necesario que sea un gráfico preciso).

2. Mueve el punto amarillo como creas conveniente y recoge la información necesaria para completar la siguiente tabla de valores. Cuando la hayas completado activa la casilla Mostrar la tabla de valores y comprueba tu resultado:

3. Suponiendo que nuestra pantalla es todo lo grande que necesitemos, ¿cuál sería el área de la imagen proyectada si la distancia a la pantalla fuera de 10 m? ¿Y si fuera de 20 m? ¿Cómo calculas el área a partir de la distancia a la pantalla? Contesta a estas preguntas analizando previamente los datos que has recogido en la tabla.

4. Si llamamos x a la distancia a la pantalla, en metros, e y al área proyectada, medida en metros cuadrados, ¿cuál es la expresión algebraica que nos permite calcular y a partir de x:

y = _________

5. Activa la casilla Mostrar la gráfica de la función. Observa la gráfica: ¿qué magnitud se ha representado en el eje OX? ¿Y en el eje OY? Copia ahora la gráfica en tu cuaderno, complétala con los nombres de las magnitudes representadas en ambos ejes y sus unidades de medida y compárala con el gráfico que habías construido inicialmente.

6. Mueve el punto amarillo para acercar o alejar el proyector y observa el reflejo que tiene ese movimiento en la gráfica. Consulta únicamente la gráfica para contestar a las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál es, aproximadamente, el área de la imagen proyectada cuando colocamos el proyector a 2,5 metros de la pantalla? ¿Y si lo colocamos a 5 metros? ¿Y si la distancia es de 7,5 metros?

2. ¿A qué distancia tenemos que colocar el proyector, aproximadamente, para que el área de la imagen proyectada sea de 20 metros cuadrados? ¿Y para que sea de 40 metros cuadrados? ¿Y para que sea de 60 metros cuadrados?

3. Supón que tenemos el proyector colocado en una cierta posición. Para que el área de la imagen proyectada se duplique, ¿tenemos que colocar el proyector al doble de distancia? Razona convenientemente tu respuesta.

7. Desactiva la casilla Mostrar la gráfica de la función. Activa la casilla Modificar el ángulo de proyección. Cambia el valor del ángulo. Al modificar el ángulo, ¿cómo varía el área de la imagen proyectada?

8. Fija el valor del ángulo en 20 grados. Mueve el punto amarillo como creas conveniente y recoge la información necesaria para completar la siguiente tabla de valores. Necesitarás una calculadora para hacer los cálculos. Cuando la hayas completado activa la casilla Mostrar la tabla de valores y comprueba tu resultado:

   Distancia a la pantalla (m)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
   Área de la imagen (m2)

9. Si llamamos x a la distancia a la pantalla, en metros, e y al área proyectada, medida en metros cuadrados, la expresión algebraica que nos permite calcular y a partir de x es de la forma y = A x². Utiliza los valores de la tabla para calcular el valor de A. Escribe finalmente la expresión algebraica de la función cuando el ángulo es de 20º:

y = _________

10. ¿Puedes leer directamente el valor A en la tabla de valores? ¿Cómo lo encuentras? ¿Cuánto vale A si el ángulo es de 15º? ¿Y si es de 25º?

11. Activa ahora la casilla Mostrar la gráfica de la función. Observa la gráfica de la función. Cambia el valor del ángulo y observa como varía la gráfica de la función. Observa también la expresión algebraica de cada una de las funciones representadas (en la parte superior derecha de la gráfica) cuando varías el ángulo. ¿Encuentras alguna relación entre la forma de la gráfica y el número A que aparece en la expresión algebraica correspondiente?

12. ¿Qué significado práctico tiene el valor A que aparece en la expresión algebraica (y = Ax²) de estas funciones?