Una hipérbola es el lugar geométrico formado por todos los puntos cuya distancia a un punto fijo (foco) es un número e, mayor que 1, de veces su distancia a una recta fija (directriz). El factor e se llama excentricidad.

Para construirla debemos determinar la posición de cada uno de esos puntos. Para ello, imagina un punto P que deba estar en la hipérbola, es decir, que cumpla que la distancia de P al foco F coincide con e veces la distancia de P a la directriz.

Observa la siguiente construcción. Trazamos una paralela a la directriz, a una distancia cualquiera "h". La distancia de P a F tendrá que ser e veces "h".

Así que P tiene que encontrarse en la intersección de cada paralela a la directriz situada a una distancia arbitraria "h" con una circunferencia de centro F y radio "e h". Esta información es suficiente para que, procediendo en sentido inverso, podamos determinar los puntos P de la hipérbola que corresponden a cada una de esas paralelas a la directriz. Ya que una recta y una circunferencia pueden cortarse en dos puntos (o uno o ninguno), para cada paralela encontraremos dos puntos (o uno o ninguno) situados en la hipérbola.

Como punto de partida, colocamos un primer punto de la hipérbola, situado en la paralela a la directriz que pasa por el foco. Si llamamos e a la proporción entre las distancias de ese punto al foco y a la directriz, todos los demás puntos de la hipérbola deben mantener la misma proporción entre esas distancias.

En la siguiente construcción, usa los botones de la barra de navegación para avanzar o retroceder, observando con atención qué se hace para construir dos puntos P y P' de la hipérbola a partir de una paralela cualquiera de la directriz.

Mueve el punto E y comprueba que para cada posición de E (situado en una perpendicular a la directriz) encontramos un dos nuevos puntos (o uno, en los vértices) de la hipérbola, salvo en una franja asimétrica situada a ambos lados de la directriz. En la anterior construcción se usaron las siguientes herramientas:

• Uso de  Recta Paralela: clic sobre el punto E y la recta directriz.

• Uso de  Circunferencia dados su Centro y Radio: clic sobre el foco F y escribir e h

• Uso de  Intersección de Dos Objetos: clic sobre la paralela y la circunferencia.

• Uso de  Lugar Geométrico: clic primero sobre un punto de la intersección y después sobre E. Hacer lo mismo con el otro punto de intersección. Lo que hace esta herramienta es calcular todas las posiciones posibles de los puntos de la intersección cuando E se desliza por toda la perpendicular a la directriz.

Ahora intenta reproducir en la siguiente ventana la construcción anterior. Cuando finalices, comprueba que es correcta aplicando la herramienta  Distancia desde cada punto de intersección (es decir, desde cada punto de la hipérbola) al foco F y desde el mismo punto a la recta directriz. Mueve el punto E para comprobar que ambas distancias siempre mantienen la misma proporción.