Si colocamos una hipérbola equilátera de forma que sus asíntotas (que son perpendiculares porque la hipérbola es equilátera) coincidan con los ejes cartesianos, entonces cada recta vertical cortará a la hipérbola equilátera en un solo punto. Esto permite considerar a la hipérbola equilátera como la gráfica correspondiente a alguna función. Pero... ¿qué función es esa?

En esta actividad introducimos una hipérbola equilátera particular en el sistema de coordenadas, colocando el centro C en el origen (0, 0) y el vértice V en (1, 1). Esa posición facilita averiguar la relación de dependencia de la ordenada Y respecto a la abscisa X de todos y cada uno de sus puntos, es decir, podemos hallar su ecuación.

Preguntas

1. Observa detenidamente la figura. La hipérbola equilátera (por tanto de excentricidad ) tiene centro en el origen de coordenadas (0, 0), el eje principal en la recta y = x (en azul claro), y su vértice en el punto (1, 1). También hemos trazado la directriz (en azul oscuro). Sabemos que la proporción entre la distancia del foco al centro y la distancia del vértice al centro es igual a la excentricidad (). Demuestra que entonces las coordenadas del foco F han de ser (, ).

2. Hemos trazado una paralela al eje de ordenadas por P y una paralela al eje de abscisas por F. Puedes mover el punto P (X, Y) sobre la hipérbola (solo sobre una rama para no complicar la construcción). Observa que X = - SF y que Y = PS + . ¿Por qué? Además, se cumple que ST = SR = X. ¿Por qué?

3. El triángulo DTP es un triángulo isósceles rectángulo. ¿Por qué?

4. Como el triángulo DTP es isósceles, tenemos que DT = PD. Como además es rectángulo, tenemos que PT² = DT² + PD². Deduce que entonces ha de cumplirse que PT = PD.

5. Como P es un punto de la hipérbola, por definición debe cumplir que PF = PD, lo miso que cumple PT, por lo tanto, PF = PT.
   
   Observa ahora el triángulo verde, es un triángulo rectángulo, así que PF² = PS² + SF². Como PF = PT, la anterior igualdad se convierte en PT² = PS² + SF².
   
   Ahora bien, PT = PS + ST, así que tenemos (PS + ST)² = PS² + SF². Simplifica esta expresión para llegar a la igualdad ST² + 2 PS ST = SF².

6. Si ahora consideramos las igualdades que aparecen en la pregunta 2, podemos sustituir ST por X, PS por Y - , SF por  - X, es decir, X² + 2 (Y - ) X = ( - X)². Simplifica esta expresión hasta llegar a la ecuación de esa hipérbola equilátera: Y = 1/X.

7. Haz clic en el botón Reiniciar. Activa la casilla Punto. Mueve el punto A y comprueba en distintas posiciones que sus coordenadas cumplen la relación Y = 1/X.

8. Observa que la misma igualdad se puede escribir como X Y = 1. Esta igualdad puede interpretarse geométricamente como que el área X Y del rectángulo amarillo se mantiene siempre constante e igual al área del cuadrado rojo, determinado por el centro y el vértice. ¿Por qué?