Cuando unimos los vértices de un polígono, saltando sistemáticamente un número dado de vértices, hasta volver al primero, la figura que nos resulta es un polígono estrellado. Así, por ejemplo, si partimos de un polígono de 7 vértices, un heptágono, según cómo unamos los vértices, podemos formar dos polígonos estrellados, como puedes ver más abajo. En el polígono de la izquierda el salto es 2 (contamos dos vértices a partir del primero y así sucesivamente, hasta cerrar el polígono), mientras que en el de la derecha el salto es 3 (contamos tres vértices a partir del primero y así sucesivamente).

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En esta aplicación vamos a investigar qué relación hay entre los ángulos que forman las puntas de un polígono estrellado de 5 puntas.

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Preguntas

1. ¿Cuánto suman los ángulos que forman las puntas de un polígono estrellado de 5 puntas? De momento vamos a hacer algunas comprobaciones. Haz clic sobre la casilla "Mostrar transportador ". Utiliza el transportador para medir los ángulos de cada una de las puntas de la estrella. Puedes comprobar tus resultados haciendo clic en la casilla "Comprobar medida de ángulos". ¿Cuanto suman los 5 ángulos?

2. Mueve algunos vértices como creas conveniente. Ahora vuelve a medir los ángulos con el transportador y calcula su suma. ¿Obtienes el mismo resultado? Repite el proceso alguna vez más y observa el resultado que obtienes.

3. ¿Te atreves a hacer alguna conjetura? ¿Qué relación has encontrado?

4. ¿Se cumplirá siempre? Vamos a tratar de demostrarlo. Pero antes es muy importante que recuerdes la relación que había entre ángulos en una circunferencia, concretamente entre el ángulo central (el que tiene el vértice en el centro) y el interior (tiene el vértice sobre la circunferencia) que abarcan el mismo arco. Si no recuerdas esa relación, haz las siguientes comprobaciones, que tal vez te refresquen la memoria:

   1. Haz clic sobre el botón para volver a la situación inicial.

   2. Haz clic sobre la casilla "Mostrar ángulos centrales"

   3. Haz clic sobre la casilla "Mostrar transportador"

   4. Mide los dos ángulos rojos y compara los resultados.

   5. Haz lo mismo con los dos ángulos verdes y con los dos azules.

   6. ¿Recuerdas ahora la relación? Escríbela y ponla a prueba con los dos ángulos violetas.

5. ¿Cuánto suman los cinco ángulos centrales? Cuando mueves los vértices de la estrella, ¿cambia la suma de los ángulos centrales?

6. Si los ángulos centrales suman eso, ¿cuánto deben sumar los ángulos interiores, teniendo en cuenta la relación que has recordado en la pregunta 5? ¿Se corresponde ese resultado con el que has obtenido con tus mediciones?

7. Es el momento de escribir las conclusiones: ¿Cuánto suman los ángulos formados por las puntas de las estrellas en un polígono estrellado de 5 puntas? Contesta razonadamente a esa pregunta basándote en lo que has descubierto en los apartados anteriores.