Para facilitar el estudio de diversos aspectos de los cuerpos espaciales los matemáticos descubrieron que una buena estrategia consiste en observar su proyección sobre el plano, es decir, su sombra.

Al proyectar un poliedro, los Vértices (blancos) se proyectan en Nodos (de color naranja), las Aristas pasan a ser Líneas rectas que unen los Nodos, y las Caras del poliedro pasan a ser Regiones poligonales (con vértices en los Nodos). La gran ventaja de esta transformación es que nos resulta mucho más fácil contar sobre el plano que en el espacio.

Observa que al proyectar aparecen tantos Nodos como Vértices, tantas Líneas como Aristas y tantas Regiones (polígonos con vértices los Nodos) como Caras. Así que el conocido teorema de los poliedros de Euler: "Caras + Vértices - Aristas = 2" se transformará en "Regiones + Nodos - Líneas = 2".

En esta actividad usaremos la proyección para poder realizar más fácilmente algunas observaciones y cuentas. Anota las respuestas en tu cuaderno.

Preguntas

1. Antes de tocar nada, observa la imagen inicial (si ya has tocado algo, pulsa el botón Reiniciar). Se ve un icosaedro y su sombra. Las 20 caras del icosaedro son triángulos equiláteros. Entonces, ¿cómo crees que es posible que su sombra tenga forma pentagonal? (Pista: fíjate en el vértice más próximo al foco de luz y en los vértices que se unen a él.)

2. Mueve el punto rojo (en la parte superior izquierda). ¿Qué efecto provoca? ¿Varía el contorno de la sombra?

3. Mueve el deslizador amarillo. ¿Qué efecto provoca? ¿Y al mover el deslizador verde?

4. Mueve el foco de luz, ajustando también el deslizador amarillo si lo crees conveniente. ¿Crees que habrá alguna posición en donde el contorno de la sombra no sea ni un hexágono ni un pentágono?

5. Mueve el foco de luz a la derecha del icosaedro, ajusta su posición y gira el punto rojo hasta conseguir que se muestre otra vez un contorno pentagonal.

6. Mantén la escala en 1.9, sitúa el foco en la esquina inferior izquierda de la pantalla (a tope, lo más que puedas) y mueve el punto rojo. ¿Qué sucede? ¿Por qué?

7. Desactiva las Caras, Vértices y Aristas del icosaedro y activa las correspondientes casillas del cubo. Mueve el foco y el punto rojo hasta conseguir que el contorno de la sombra sea un pentágono.

8. Mueve el foco y el punto rojo hasta conseguir que el contorno de la sombra sea un cuadrilátero.

9. No podrás mover el foco y el punto rojo de forma que en la sombra solo se vean 4 de los puntos proyectados. ¿Por qué? ¿Dónde habría que colocar el foco para conseguirlo?

10. Desactiva las Caras, Vértices y Aristas del cubo y activa las correspondientes casillas del tetraedro. Mueve el foco y el punto rojo hasta conseguir que en el contorno de la sombra solo sean visibles 3 Nodos, en vez de cuatro.

11. Desactiva las Caras, Vértices y Aristas del tetraedro y activa las correspondientes casillas del octaedro. Mueve el foco y el punto rojo hasta conseguir que en el contorno de la sombra solo sean visibles 5 Nodos, en vez de seis.

12. Desactiva las Caras, Vértices y Aristas del octaedro y activa las correspondientes casillas del dodecaedro. Mueve el foco hasta situarlo en la misma posición (desde tu punto de vista) que el centro del dodecaedro y reduce la apertura de la luz al mínimo. El punto del foco quedará situado justo en el centro del círculo iluminado. Aunque se sigue proyectando el dodecaedro sobre un plano situado detrás de él, al mover el punto rojo, ¿tienes alguna otra percepción de la figura? Comprueba esa percepción con los otros poliedros, aumentando o reduciendo la Escala si lo crees conveniente.

13. Vamos ahora a preparar las proyecciones para facilitar las cuentas. Activa Vértices y Aristas del tetraedro y la casilla Grafo. Aparecerá un gráfico ("grafo") de puntos unidos por líneas, equivalente a la proyección del tetraedro. Comprueba que, efectivamente, de cada Nodo salen tantas Líneas como Aristas salen de cada Vértice del icosaedro. Mueve el Nodo D hasta el interior del triángulo ABC, así ningún par de Líneas se cortarán. ¿Cuántas Regiones hay? (No olvides que la superficie completa, el triángulo ABC, forma también una región.)

14. Desactiva Vértices y Aristas del tetraedro y activa Vértices y Aristas del octaedro. Mueve los Nodos B, D y F hasta el interior del triángulo ACE, así ningún par de Líneas se cortarán. ¿Cuántas Regiones hay? (No olvides que la superficie completa, el triángulo ACE, forma también una región.)

15. Realiza el mismo proceso con los grafo de los demás poliedros. Ten en cuenta que a medida que el número de Nodos aumenta te resultará cada vez más difícil lograr que ningún par de Líneas se corten, pero siempre es posible conseguirlo. El método general para lograrlo es similar a lo realizado con el octaedro: elige una región y coloca el resto de los Nodos dentro.

16. Una vez preparados los grafos, ya podemos contar. Primero, comprueba la igualdad "Regiones + Nodos - Líneas = 2" en cada uno de los grafos.

17. Visualiza el grafo del tetraedro. El camino BADC pasa una sola vez por cada vértice. ¿Cuántos caminos distintos puedes contar que pasen una sola vez por los cuatro vértices? Escribe unos cuantos caminos y después busca la manera de contarlos sin tener que escribirlos todos uno por uno.

18. Hagamos la cuenta más fácil, dividiendo el trabajo en partes. ¿De cuántas formas distintas podemos recorrer el primer tramo, es decir, la primera Línea? Por ejemplo, una forma es AB, otra BA, otra AC, otra CA, etc.

19. Ahora elige una de esas primeras Líneas (por ejemplo AB) y a partir de ahí cuenta cuántos caminos hay que empiecen "AB...". No son muchos... ¿Todos ellos permiten "cerrar" el recorrido regresando al Nodo inicial (es decir, realizar un circuito)?

20. A partir de las respuestas a las dos preguntas anteriores, ¿cuántos caminos distintos puedes contar en total que pasen una sola vez por los 4 vértices del tetraedro?

21. Visualiza el grafo del octaedro. ¿De cuántas formas distintas podemos recorrer el primer tramo, es decir, la primera Línea? Por ejemplo, una forma es AB, otra BA, otra AC, otra CA, etc.

22. Ahora elige una de esas primeras Líneas (por ejemplo AB) y a partir de ahí cuenta cuántos caminos hay que empiecen "AB...". No son muchos, pero un diagrama de árbol te puede resultar muy útil. ¿Todos ellos permiten "cerrar" el recorrido regresando al Nodo inicial (es decir, realizar un "circuito")?

23. A partir de las respuestas a las dos preguntas anteriores, ¿cuántos caminos distintos puedes contar en total que pasen una sola vez por los 6 vértices del octaedro?

24. Sigue la misma estrategia para averiguar cuántos caminos distintos pasan una sola vez por los 8 vértices del cubo y cuántos circuitos pueden realizarse.

25. Hacia 1850 el matemático W. R. Hamilton patentó un juego que llamó Viaje por el Mundo. Consistía en encontrar un circuito que pasase por 20 ciudades situadas en los Nodos del grafo del dodecaedro (que es equivalente a un recorrido por los 20 vértices del dodecaedro). Visualiza el grafo del dodecaedro. ¿Puedes encontrar una solución? Si activas "Cadena" podrás ayudarte de la cadena roja para señalar el recorrido.

26. Visualiza el grafo del icosaedro. Encuentra un circuito "hamiltoniano", es decir, que pase por todos los Nodos una sola vez.

27. Veamos algo que parece mucho más difícil pero que gracias a los grafos podemos resolver rápidamente. ¿Cuántos caminos distintos recorren las 30 Aristas del dodecaedro una sola vez? En vez de contestar directamente, intenta primero el caso del tetraedro.

28. Observa que, para recorrer todas las Líneas, los Nodos intermedios (todos excepto el inicial y el final) tienen que tener un número par de Líneas conectadas a ellos (la mitad para poder acceder y la otra mitad para poder salir). ¿Cuál es el único poliedro que cumple este requisito?

29. Si todos los Nodos tienen un número par de Líneas conectadas a ellos entonces es posible realizar un circuito por las aristas, es decir, recorrer todas las aristas volviendo al Nodo inicial. Encuentra un circuito de este tipo en el octaedro, ayudándote de la Cadena.

30. Realiza una estimación de cuántos circuitos distintos crees que, aproximadamente, pueden formarse recorriendo todas las aristas del octaedro una sola vez.