Una espiral es una curva que se inicia en un punto central y se va alejando progresivamente del centro a la vez que gira alrededor de él. Cuando los fenómenos de expansión y de rotación se unen surgen las espirales, unas formas que siempre han fascinado al ser humano.  Las espirales tienen innumerables manifestaciones en la naturaleza, aparecen en múltiples objetos mecánicos de la vida cotidiana y también tienen una presencia notable en el mundo del arte. Es por ello por lo que han sido objeto de estudio e investigación para los matemáticos a lo largo de la historia.

El primer paso de su estudio se remonta al siglo III a. de C. y su protagonista es el genial Arquímedes. Con métodos que se adelantan en varios milenios a sus contemporáneos realiza el primer estudio intensivo sobre la espiral más simple: la espiral uniforme, también llamada, en su honor, espiral de Arquímedes.

La involuta de un círculo es un tipo de espiral que se parece mucho a la anterior, por lo que también se suele considerar una espiral arquimediana. La única diferencia con aquella es que no termina en un punto, sino que acaba abrazando a un círculo central. La estudió por primera vez Huygens cuando trataba de encontrar relojes sin péndulo que pudieran ser utilizados en alta mar.

Sin embargo, no son las espirales arquimedianas las que más se prodigan en la naturaleza. En los fenómenos en los que un proceso de enrollamiento está vinculado al proceso de crecimiento la que aparece es la espiral logarítmica. La encontramos en el crecimiento de muchas especies animales y vegetales, en el proceso de formación de los ciclones o en la forma de muchas galaxias. Aunque las leyes físicas del crecimiento son diferentes, al tratarse de especies y situaciones muy dispares, comparten las leyes matemáticas que lo rigen. Grandes matemáticos como Descartes o Jacob Bernouilli estudiaron en profundidad estas espirales.

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En esta aplicación vamos a conocer un poco más de estas espirales y a localizarlas en algunas de sus manifestaciones en la naturaleza, en el arte y en objetos cotidianos.

Preguntas

Investigación sobre las espirales

1. Familiarízate con los controles: mueve los deslizadores y observa los cambios. En los siguientes ejercicios trataremos de analizar con más detalle los efectos que ahora estás viendo.

2. Haz clic en el botón Reiniciar. La espiral que aparece es una espiral de Arquímedes y su sentido es el antihorario (es el sentido en que medimos habitualmente los ángulos). Haz clic sobre la casilla "Mostrar un punto". Mueve el punto blanco sobre la curva y observa. ¿Qué indica el segmento representado? ¿Cambia su longitud al mover el punto? ¿Qué ocurre cuando nos acercamos al centro? Si exceptuamos la primera vuelta de la espiral, ¿qué característica asignarías a las espirales arquimedianas?

3. ¿Varía esa distancia al modificar el valor de a? ¿Cuanto vale la distancia si a=0.5? ¿Y si a=1? ¿Se te ocurre alguna forma de calcular la distancia a partir del valor de a?

4. Cambia ahora el sentido de la espiral con el deslizador horizontal "Sentido". ¿Se sigue manteniendo lo que has investigado en el punto anterior? Para un determinado valor de a, ¿cambia la distancia entre las vueltas de la espiral al modificar el sentido de giro?

5. Haz clic en el botón Reiniciar. Con el deslizador vertical selecciona la espiral "Involuta del círculo". Haz clic sobre la casilla "Mostrar un punto". Mueve el punto blanco sobre la curva. Supón que el segmento azul que parte del punto es un hilo tirante, ¿cómo describirías lo que ocurre cuando mueves el punto blanco sobre la curva, acercándolo al centro de la espiral o alejándolo de dicho punto?

6. Cambia ahora el sentido de la espiral con el deslizador horizontal "Sentido". ¿Se sigue manteniendo lo que has investigado en el punto anterior?

7. Supón que cuentas con una hoja de papel, un trozo de cuerda, un pequeño bote cilíndrico y un lápiz. Basándote en lo que has observado en el apartado anterior, ¿se te ocurre alguna forma de dibujar una espiral de estas características con esos elementos?

8. Haz clic en el botón Reiniciar. Con el deslizador vertical selecciona la espiral "Logarítmica". Haz clic sobre la casilla "Mostrar un punto". Mueve el punto blanco sobre la curva y observa. Este tipo de espiral también se llama equiangular, ¿encuentras alguna justificación para el nombre?

9. Modifica el valor de b y observa el valor del ángulo. ¿Se mantiene constante o varía? ¿Qué ocurre cuando el valor de b se acerca a 1? ¿Qué ha ocurrido en tal caso con la espiral? ¿Qué cambio experimenta la forma de la espiral al aumentar el valor de b?

10. Modifica ahora el valor de a y observa el valor del ángulo. ¿Se mantiene constante o varía?

Exploración de imágenes

En todos los ejercicios que siguen se trata de encontrar una curva espiral que se adapte todo lo posible a la imagen que se representa. Para conseguirlo, selecciona con el cursor vertical el tipo de espiral que consideres oportuno y, a continuación, el sentido de giro. Modifica luego los parámetros de modo que la forma de la espiral se adapte a la figura. Puedes modificar la longitud de la espiral y también girarla. Para ello utiliza el deslizador n (para tener más precisión en su manejo utiliza las teclas + y -) o gira el punto amarillo sobre el círculo de color azul que te aparecerán en la parte inferior del panel cuando seleccionas una imagen. Ahora bien, ten en cuenta que la naturaleza y los objetos cotidianos rara vez son perfectos desde un punto de vista estrictamente matemático: no siempre será posible encontrar el ajuste perfecto.

11. Haz clic en el botón Reiniciar. Haz clic en la casilla Im1. Tu objetivo ahora es encontrar una espiral que se ajuste todo lo posible a la figura que estás observando: la sección de un nautilus, un molusco que vive en los mares de Filipinas. Cuando hayas conseguido el resultado deseado, anota en tu cuaderno el nombre de la figura, el tipo de espiral que has empleado, su sentido de giro y los valores correspondientes de los parámetros. Finalmente haz clic en el botón Reiniciar para volver a la situación inicial.

12. Jacob Bernouilli fue uno de los grandes matemáticos que se dedicó al estudio de las espirales, particularmente el de las logarítmicas. Por ello, en su honor se esculpió sobre su lápida una espiral alrededor de la cual reza la inscripción "Eadem mutata resurgo" (Aunque cambiada resurgiré), por encargo del propio Bernouilli, tratando de indicar con ello que esta curva crece manteniéndose siempre igual a sí misma. Haz clic en la casilla Im2 para ver la espiral esculpida por encargo de Bernouilli y trata de encontrar una curva que se adapte a la misma. ¿Es realmente una espiral logarítmica? Como en el ejercicio anterior, una vez que hayas conseguido el resultado deseado, anota en tu cuaderno el nombre de la figura, el tipo de espiral que has empleado, su sentido de giro y los valores correspondientes de los parámetros. Finalmente haz clic en el botón Reiniciar para volver a la situación inicial.

13. Las espirales son utilizadas en múltiples objetos cotidianos y también aparecen en gran número de obras de arte. Haz clic en la casilla Im3 y busca una espiral que se ajuste a la escultura. Anota en tu cuaderno el nombre de la figura, el tipo de espiral que has empleado, su sentido de giro y los valores correspondientes de los parámetros. Finalmente haz clic en el botón Reiniciar para volver a la situación inicial.

14. Se conservan gran cantidad de fósiles de animales con formas espirales, que vivieron en el Jurásico y en el Cretácico. Es posible que algunos de estos fósiles impulsaran a Arquímedes a estudiar estas curvas. Haz clic sobre la casilla Im4 y trata de encontrar una espiral que se ajuste al Perisphintes. Como en los ejercicios anteriores, una vez que hayas conseguido el resultado deseado, anota en tu cuaderno el nombre de la figura, el tipo de espiral que has empleado, su sentido de giro y los valores correspondientes de los parámetros. Finalmente haz clic en el botón Reiniciar para volver a la situación inicial. 

15. Si observas a tu alrededor seguramente encontrarás en tu ciudad detalles constructivos en los que se emplean espirales. Haz clic en la casilla Im5 y busca una curva que se adapte a la voluta. Anota en tu cuaderno el nombre de la figura, el tipo de espiral que has empleado, su sentido de giro y los valores correspondientes de los parámetros. Finalmente haz clic en el botón Reiniciar para volver a la situación inicial.

16. Haz clic en la casilla Im6 y trata de encontrar curvas que se adapten a las dos espirales que aparecen a los dos lados de la pieza cerámica. Anota en tu cuaderno el nombre de la figura, el tipo de espiral que has empleado, su sentido de giro y los valores correspondientes de los parámetros. Finalmente haz clic en el botón Reiniciar para volver a la situación inicial.

17. En las borrascas y también en los ciclones el aire en las regiones más próximas al centro de las bajas presiones gira más rápido que en las regiones alejadas. Ello explica la forma espiral que se puede observar cuando observamos las imágenes de este tipo de fenómenos. Haz clic sobre la casilla Im7 y busca una curva que ajuste a alguna de las ramas de este ciclón que se sitúa en las proximidades de la península de Florida. Una vez que hayas conseguido el resultado deseado, anota en tu cuaderno el nombre de la figura, el tipo de espiral que has empleado, su sentido de giro y los valores correspondientes de los parámetros. ¿Qué ocurre si haces girar la espiral sin modificar los restantes parámetros de la misma? Finalmente haz clic en el botón Reiniciar para volver a la situación inicial.

18. Las fuerzas gravitatorias que se crean entre los miles de millones de estrellas que forman una galaxia las hacen girar alrededor de su centro. Sin embargo la velocidad a la que giran disminuye a medida que nos alejamos del centro de la galaxia, lo que da lugar a que las estrellas se agrupen formando hermosas espirales. Haz clic en la casilla Im8 y trata de encontrar una curva que ajuste una de las ramas de la galaxia. Una vez que hayas conseguido el resultado deseado, anota en tu cuaderno el nombre de la figura, el tipo de espiral que has empleado, su sentido de giro y los valores correspondientes de los parámetros. ¿Qué ocurre si giras la espiral sin modificar los restantes parámetros de la misma?