Desde Pitágoras, a lo largo de la historia, fueron muchos los matemáticos que trataron de encontrar modelos para explicar los fenómenos de la naturaleza. De este modo surgieron las leyes fundamentales que constituyen el soporte de la física clásica y de la astronomía. Y esa búsqueda de modelos también trató de explicar mediante leyes matemáticas las formas y tamaños de los objetos presentes en la Naturaleza.

Es así como surge en el siglo XVIII la concoide de rosetón, también llamada pétalo geométrico. Se trata de una familia de curvas que parece haber nacido para identificarse con algunas de las flores más habituales en el campo o en las floristerías. En esta aplicación vamos a conocer un poco mejor sus características, investigando cómo cambia su forma en función de los parámetros que la determinan.

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Preguntas

1. Familiarízate con los controles: mueve los deslizadores y observa los cambios. En los siguientes ejercicios trataremos de analizar con más detalle los efectos que ahora estás viendo.

2. Haz clic en el botón Reiniciar, situado en la parte superior derecha, para volver a la situación inicial. Cambia el valor de r₀ moviendo el deslizador correspondiente. Activa también la casilla "Mostrar escala". ¿Qué ocurre cuando cambia r₀? ¿Qué es lo que cambia en la curva? Describe cómo sería la curva si r₀=7 (el programa no te permite dibujarla, pero sí que puedes decir algunas cosas de cómo sería la curva).

3. Fija el valor de r₀ en 2. Vamos a investigar ahora cómo cambia la curva cuando lo que variamos es el valor de a, utilizando para ello el deslizador correspondiente. ¿Qué ocurre cuando a se aproxima a 0? ¿Y cuando varía entre 0 y 1? ¿Y cuando a es mayor que 1? ¿Qué es lo que cambia en cada caso en la curva? Escribe tus conclusiones, distinguiendo los casos: a<1, a=1 y a>1.

   Vamos a establecer ahora de una manera más precisa cómo depende el tamaño y la forma de la flor de los parámetros a y r₀. Es aconsejable que fijes un valor de r₀ (por ejemplo 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3...) y analices qué forma y tamaño tiene la flor cuando vas variando a. Activa la casilla Ayuda y trata de determinar el radio de la circunferencia roja en función de los valores de r₀ y a. ¿Encuentras alguna relación entre el radio de esta circunferencia y el de la flor (vamos a llamar radio de la flor a la distancia de su centro al extremo de uno de sus pétalos)?
   
   Cuando hayas estudiado unos cuantos casos trata de establecer alguna conjetura. Ponla a prueba con algunos casos más. Por último, escribe tus conclusiones.

5. Si r₀=2 y a=0.75, ¿cuál es el radio de la flor? ¿Cuál es el radio de la circunferencia interior, de la que parten los pétalos?

6. Si r₀=2 y a=1.5, ¿cuál es el radio de la flor? ¿Qué longitud tienen los pétalos interiores? ¿Cuáles serían esos valores si fuera al revés, es decir, r₀=1.5 y a=2?

5. ¿Cuánto vale r₀ y cuánto vale a en cada una de las flores representadas a continuación?

8. Con los deslizadores respectivos, fija los valores r₀=2 y a=1. Desactiva la casilla Mostrar escala. Ahora cambia el valor de k_num, moviendo el deslizador correspondiente, y observa el efecto que se produce en la flor. ¿Qué es lo que ocurre? ¿Encuentras alguna relación tiene el valor de k_num y la forma de la flor? Escribe tus conclusiones.

9. Fija el valor de k_den en 2. Con ayuda del deslizador, vete variando ahora el valor de k_num y observa los cambios que se producen en la flor. ¿Qué es lo que ocurre? ¿Obtienes en algún caso flores que ya hayas obtenido en el apartado anterior? ¿Por qué crees que ocurre eso?

10. Fija el valor de k_den en 3. Con ayuda del deslizador, vete variando ahora el valor de k_num y observa los cambios que se producen en la flor. ¿Qué es lo que ocurre? ¿Obtienes en algún caso flores que ya hayas obtenido en alguno de los apartados anteriores? ¿Por qué crees que ocurre eso?

11. Estudia algunos valores más de k_den y k_num. Para valores un poco altos activa la casilla Rotaciones: moviendo despacio el deslizador que aparece puedes contar más fácilmente el número de rotaciones o de pétalos. Finalmente trata de establecer algunas conclusiones: ¿qué relación tiene la forma de la flor con los valores de k_num/k_den?

12. ¿Son iguales las flores que se corresponden a 3/4 y 6/8? ¿Y las que se corresponden a 2/5 y 5/2? Justifica tus respuestas.

13. Algunas curvas de esta familia tienen nombre propio: es el caso de las representadas a continuación. Halla en cada caso los valores de los parámetros a, k_num y k_den para los que se obtienen:

Cardioide	Huevo doble	Nefroide de Freeth
Nudo de Ocho	Trisectriz de Ceva	Caracol de Pascal

14. Haz clic en el botón Reiniciar. Activa la casilla Flores. Activa ahora la casilla Lila. Mueve el punto amarillo hasta situarlo en el centro de la flor. Busca ahora los valores de los parámetros r₀, a, k_num y k_den. Con el deslizador t₀ puedes girar los pétalos para adaptarlos a la forma de la flor. ¿Cuáles son los valores que más se ajustan a la Lila?

15. Haz clic en el botón Reiniciar. Activa la casilla Flores y selecciona ahora la casilla Amarilla. Repite el proceso del apartado anterior hasta encontrar los valores que mejor se ajustan a esta flor.

16. Repite el mismo estudio para las flores Blanca y Rosa.