Que las isometrías forman un "grupo" significa que se cumplen tres cosas:

1. Existe una isometría neutra que deja todo como estaba (no produce ningún cambio).

2. Cualquier isometría tiene su contraria (que vuelve a dejar las cosas como estaban).

3. Cualquier composición de isometrías (por muchas que compongamos) vuelve a ser otra isometría.

Estas tres condiciones se cumplen de forma muy intuitiva cuando hablamos de mover cualquier objeto (ya sea en el plano o en el espacio):

1. Si lo trasladamos 0 cm (o lo giramos 0º) queda como estaba.

2. Para cualquier movimiento hay otro que devuelve el objeto a su posición original.

3. Cualquier combinación de movimientos produce otro movimiento.

Sin embargo, ya no es tan intuitivo que cualquier movimiento del plano (que conserve la forma y dimensiones de la figura, es decir, isométrico) tenga que ser necesariamente o una traslación o un giro o una simetría axial o una reflexión desplazada. Pero así es.

Un ejemplo de grupo que ya conoces es el de los números enteros con la operación suma:

1. Existe el número 0, que es neutro para la suma, es decir, no produce cambio alguno al sumarlo.

2. Cualquier número entero tiene su opuesto (que al sumarlo al primero lo anula).

3. Cualquier suma de enteros (por muchos que sumemos) vuelve a ser otro número entero.

Nota: Con la misma operación suma, los enteros pares también forman un grupo (¿por qué?), es decir, son un subgrupo del grupo de enteros, pero los enteros impares no (¿por qué?).