Si no lo has hecho ya, lee primero la información general sobre los grupos de isometrías de los mosaicos periódicos, pulsando sobre la siguiente imagen:

Grupos de isometrías de mosaicos

Es recomendable que sigas el orden numérico de los grupos.

En esta actividad explorarás el último grupo de isometrías, el grupo 17 (*632, p6m). Es el último de los cinco grupos de mosaicos que se pueden crear con azulejos con forma de diamante, además de aquellos que ya hemos visto que se pueden formar con romboides (pues podemos considerar un diamante como un caso particular de romboide) y con rombos (pues podemos considerar un diamante como un caso particular de rombo). Es decir, además de los 4 primeros grupos, ahora, gracias a la mayor simetría del diamante, aparecen cinco grupos posibles más, los grupos 333, *333, 3*3, 632 y *632.

Como se detalla en la información general (enlace en la anterior imagen), para facilitar la percepción de las simetrías hemos sustituido el azulejo diamante por el azulejo equivalente en forma de hexágono regular.

Preguntas

1. Varía de posición el vértice de la celda primitiva (punto verde) y observa el efecto. ¿Qué tipo de isometrías (rotaciones o reflexiones) puedes apreciar en el azulejo?

2. La parte blanca del azulejo donde colocamos el motivo decorativo (el cisne) se denomina "Celda primitiva". En este caso, esta celda es un doceavo (1/12) del azulejo. Desactiva y activa esa casilla para ver el efecto producido. Explica cómo se ha dividido el azulejo en doce partes.

3. Deja activada la casilla "Celda primitiva" y activa las casillas "Aplicar simetrías" y Azulejo. Describe qué sucede y por qué. Compara la forma de crear el azulejo con la forma empleada en el grupo 14 (*333). ¿En qué se parecen? ¿Por qué no se obtiene el mismo azulejo?

4. Activa la casilla "Vectores de traslación". Muévelos por el punto medio verde. ¿Qué indican esos vectores? ¿Crees que hay más direcciones en las que se pueda aplicar una traslación?

5. Desactiva la casilla "Vectores de traslación". Al activar la casilla "Centros de rotación", ¿qué sucede? ¿Dónde aparecen los puntos rojos? ¿Por qué?

6. Al activar la casilla "Ejes de reflexión", ¿qué sucede? ¿Dónde aparecen las rectas violetas? ¿Por qué? Observa que aparece otras colecciones de espejos (en color amarillo). ¿Por qué?

7. ¿Crees que el mosaico presenta alguna reflexión desplazada? ¿Dónde se encuentran los ejes de deslizamiento?

8. Desactiva la casilla "Ejes de reflexión" y activa la casilla "Copiar parte del mosaico". Mueve la copia desplazando la imagen de flechas rojas. ¿Cuánto tienes que desplazar la copia para que vuelva a coincidir con el original? ¿Cómo se llama la isometría que corresponde a esa simetría por desplazamiento?

9. Activa la casilla Centrar para volver la copia a su posición inicial. Activa la casilla "Rotar cierto ángulo" y elige un ángulo de 60º (puedes usar las teclas + y - del teclado para mayor precisión). Coloca la punta de la chincheta (puedes moverla por su cabeza) exactamente en uno de los puntos rojos. ¿Qué sucede? ¿Por qué? Haz variar lentamente el ángulo entre 0º y 60º para observar mejor el proceso de rotación.

10. ¿Cuál es el único punto de la copia que coincide en todo el proceso de rotación con el original?

11. Manteniendo el valor del ángulo de rotación en 60º, mueve la chincheta hasta otro punto rojo. ¿Qué sucede? ¿Por qué? ¿Cuál es el orden de cada uno de esos centros de rotación rojos? ¿Qué sucede si el ángulo toma los valores 120º, 180º, 240º y 300º?

12. Observa que solo 3 centros destacan. Son aquellos que generan todos los demás al trasladarse o rotar. Compruébalo girando de nuevo la copia azul del mosaico 60º, 120º, 180º, 240º y 300º alrededor del punto rojo, 120º y 240º alrededor del punto verde y 180º alrededor del punto azul. Sin embargo, en ningún caso uno de esos puntos destacados puede generar uno de los otros dos. Decimos que esos 3 centros de rotación son independientes y denotamos a este grupo de isometrías como 632, lo que significa que tiene tres centros independientes de rotación, uno de orden 6, otro de orden 3 y otro más de orden 2.

13. Si el azulejo solo tiene un centro de rotación de orden 6, ¿por qué en el mosaico aparecen otros dos centros independientes?

14. Desactiva las casillas "Centros de rotación", "Centrar" y "Rotar cierto ángulo". Activa la casilla "Reflejar en la segunda dirección". ¿Qué representa el segmento violeta? ¿Coincide la copia con el original? ¿Por qué?

15. Desactiva la casilla "Reflejar en la segunda dirección" y activa la casillas "Reflejar en la tercera dirección" y siguientes. ¿Qué representa el segmento violeta? ¿Coincide la copia con el original? ¿Por qué? ¿Falta alguna dirección de reflexión, además de esas seis?

16. Escribe todos los tipos de isometrías presentes en este grupo *632.

17. Desactiva las casillas "Celda primitiva", "Aplicar simetrías" y "Copiar parte del mosaico". Activa la casilla "Dibujo libre" y la casilla Rastro. Realiza varios diseños de mosaicos (el lápiz se coge por su extremo superior) y observa el tipo de simetría que aparece en todos ellos, independientemente del motivo decorativo que dibujes.