La siguiente aplicación muestra las tres rectas (roja, verde y azul) que dividen al triángulo en dos partes de igual área, por lo que el triángulo se podría mantener en equilibrio encima de cada una de ellas. Donde se encuentren las tres rectas estará el punto que equilibra todo el triángulo: el baricentro.

Dado un triángulo ABC, el baricentro G es el punto cuyas coordenadas son las medias de las de los vértices. En el caso del triángulo, este punto medio o baricentro coincide con el centro de masas o centro de gravedad (cosa que no ocurre, en general, con un cuadrilátero u otro polígono).

En la parte izquierda dispones de herramientas que te permiten construir directamente las medianas, el baricentro y el triángulo medial. En la parte derecha, dispones de las herramientas de GeoGebra para construir esos mismos lugares geométricos.

Preguntas

1. Si el baricentro coincide con el centro de gravedad, tendrá que estar situado en cada una de las medianas (rectas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto). ¿Por qué? Construye las medianas.

2. Cada mediana divide al triángulo en dos partes de igual área. ¿Por qué?

3. Construye el punto donde concurren las medianas. Vamos a demostrar que este punto, el baricentro, se encuentra a 1/3 de la altura sobre cada lado, es decir, la distancia del baricentro a cada vértice y cada lado están en relación 2:1. Sigue los siguientes pasos:

   1. Activa la casilla "2:1". Observa el triángulo ABC. El segmento A'B' es paralelo al lado AB y mide la mitad de ese lado. ¿Por qué?

   2. Observa ahora el triángulo ABG. Los puntos M y N son los puntos medios entre el baricentro G y los vértices A y B. El segmento MN es paralelo al lado AB y mide la mitad de ese lado. ¿Por qué?

   3. De lo anterior se deduce que el cuadrilátero azul es un paralelogramo. ¿Por qué?

   4. Como las dos diagonales del paralelogramo se cortan en su punto medio, la distancia de G a cada vértice es el doble que al punto medio del lado opuesto. ¿Por qué?

4. Desactiva la casilla "2:1". Las medianas dividen al triángulo ABC en 6 pequeños triángulos. ¿Cuál es la relación de áreas entre el triángulo ABC y cada uno de esos 6 pequeños triángulos? ¿Por qué? (Pista: observa los triángulos ABG, BCG y ACG.)

5. Activa la casilla Medial. Se verá el triángulo medial (triángulo de vértices los puntos medios del triángulo). Comprueba que el triángulo medial es semejante al triángulo ABC. ¿Sabrías demostrarlo?

6. ¿Cuál es la relación de áreas entre el triángulo ABC y su triángulo medial? Compruébalo con la herramienta Área. ¿Por qué se da esa relación?

7. Construye el triángulo medial del triángulo medial. Este segundo triángulo medial no solo es semejante al triángulo ABC, sino que además es homotético. ¿Por qué? ¿Cuál es el centro de homotecia?